沈阳师范大学：《抽象代数》课程教学课件（讲稿）第二章 基本概念、第三章 群

一、群的定义1.定义（1)一个非空集合G对一个叫做乘法的代数运算IG对于这个乘法来说是封闭的，即Va,beG，abeGII.Va，b，cEG，结合律：a(bc)=(ab)c成立;IIIVaEG，G里至少存在一个单位元e，使得ea=ae=a,IVVaeG，G里至少存在一个逆元a，使得aa=aal=e则称代数系统（G，·）（简记为G）作成一个群若这个乘法还满足交换律，即Va，beG，ab=ba;称G为交换群或Abel群

1 1 1 . . , Ⅲ ， 里至少存在一个单位元 ，使得 ， Ⅳ ， 里至少存在一个逆元 ，使得 ， 则称代数系统（ ）（简记为 ）作成一个群. a G G e ea ae a a G G a a a aa e G G             一、群的定义 1.定义（1） . . ( ) ( ) 一个非空集合 对一个叫做乘法的代数运算， Ⅰ 对于这个乘法来说是封闭的，即 ， ， ； Ⅱ ， ， ，结合律： 成立； G G a b G ab G a b c G a bc ab c       . 若这个乘法还满足交换律，即 ， ， ； 称 为交换群或 群 a b G ab ba G Abel   

一、群的定义1.定义（1)一个非空集合G对一个叫做乘法的代数运算IG对于这个乘法来说是封闭的，即Va，beG，abeGIIVa，b，ceG，结合律：a(bc)=(ab)c成立;IⅢIVaG，G里至少存在一个单位元e，使得ea=ae=a,IVVaeG，G里至少存在一个逆元a-，使得aa=aa=e则称代数系统（G，·）（简记为G）作成一个群若这个乘法还满足交换律，即Va，beG，ab=ba称G为交换群或Abel群

1 1 1 . . Ⅲ ， 里至少 一个 ，使得 ， Ⅳ ， 里至少 存在 单位元 存在一个逆元 ，使得 ， a G G e G ea ae a a G a a a aa e            一、群的定义 1.定义（1） . . ( ) ( ) 一个非空集合 对一个叫做乘法的代数运算， Ⅰ 对于这个乘法来说是 的，即 ， ， ； Ⅱ ， ， ， ： 成 封闭 结合律 立； G G a b G ab G a b c G a bc ab c       . 若这个乘法还满足交换律，即 ， ， ； 称 为交换群或 群 a b G ab ba G Abel    则称代数系统（G, ）（简记为G）作成一个群

一、群的定义1. 定义（1)一个非空集合G对一个叫做乘法的代数运算封闭性IG对于这个乘法来说是封闭的，即Va，beG，abeG结合律II.Va，b，ceG，结合律：a(bc)=(ab)c成立;单位元IIVaG，G里至少存在一个单位元e，使得ea=ae=a,逆元IVVaeG，G里至少存在一个逆元a，使得aa=aa=e,则称代数系统（G，·）（简记为G）作成一个群若这个乘法还满足交换律，即Va，beG，ab=bas称G为交换群或Abel群

1 1 1 . . Ⅲ ， 里至少 一个 ，使得 ， Ⅳ ， 里至少 存在 单位元 存在一个逆元 ，使得 ， a G G e G ea ae a a G a a a aa e            一、群的定义 1.定义（1） 封闭性 结合律 单位元 逆元 . . ( ) ( ) 一个非空集合 对一个叫做乘法的代数运算， Ⅰ 对于这个乘法来说是 的，即 ， ， ； Ⅱ ， ， ， ： 成 封闭 结合律 立； G G a b G ab G a b c G a bc ab c       . 若这个乘法还满足交换律，即 ， ， ； 称 为交换群或 群 a b G ab ba G Abel    则称代数系统（G, ）（简记为G）作成一个群

一、群的定义1. 定义（1)一个非空集合G对一个叫做乘法的代数运算封闭性IG对于这个乘法来说是封闭的，即Va，beG，abeG结合律II.Va，b，cEG，结合律：a(bc)=（ab)c成立；单位元IIIVaG，G里至少存在一个单位元e，使得ea=ae=a,逆元IV.VaeG，G里至少存在一个逆元a，使得aa=aa=e,则称代数系统（G，·）（简记为G）作成一个群若这个乘法还满足交换律，即a，beG，ab=bas称G为交换群或Abel群

一、群的定义 1.定义（1） . . ( ) ( ) 一个非空集合 对一个叫做乘法的代数运算， Ⅰ 对于这个乘法来说是 的，即 ， ， ； Ⅱ ， ， ， ： 成 封闭 结合律 立； G G a b G ab G a b c G a bc ab c       . 若这个乘法还满足交换律，即 ， ， ； 称 为交换群或 群 a b G ab ba G Abel    则称代数系统（G, ）（简记为G）作成一个群. 1 1 1 . . Ⅲ ， 里至少 一个 ，使得 ， Ⅳ ， 里至少 存在 单位元 存在一个逆元 ，使得 ， a G G e G ea ae a a G a a a aa e            封闭性 结合律 单位元 逆元

一、群的定义2.定义（2)一个非空集合G对一个叫做乘法的代数运算封闭性IG对于这个乘法来说是封闭的，即Va,beG，abeG结合律II.Va，b，cEG，结合律：a(bc)=（ab)c成立；左单位元IIIVaeG，G里至少存在一个左单位元e，使得ea=a左逆元IV'VaeG，G里至少存在一个左逆元a，使得aa=e则称代数系统（G，·）（简记为G）作成一个群若这个乘法还满足交换律，即Va，beG，ab=ba;称G为交换群或Abel群

. . ( ) ( ) 一个非空集合 对一个叫做乘法的代数运算， Ⅰ 对于这个乘法来说是封闭的，即 ， ， ； Ⅱ ， ， ，结合律： 成立； G G a b G ab G a b c G a bc ab c       一、群的定义 2.定义（2） 1 1 . . Ⅲ' 左单位元 Ⅳ' ， 里至少存在一个 ，使得 ， ， 里至少存在一个左逆元 ，使得 ， a G G e ea a a G G a a a e         则称代数系统（G, ）（简记为G）作成一个群. . 若这个乘法还满足交换律，即 ， ， ； 称 为交换群或 群 a b G ab ba G Abel    封闭性 结合律 左单位元 左逆元