导航 3填空：(1)三垂线定理 如果平面的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影 ,则它也和这条斜线垂直 (2)三垂线定理的逆定理 如果平面的一条直线和这个平面的一条斜线，则它也 和这条斜线在该平面内的射影垂直
导航 3.填空:(1)三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影 垂直,则它也和这条斜线垂直. (2)三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也 和这条斜线在该平面内的射影垂直
4.做一做：下列命题正确的是( A.若a是平面a的斜线，直线b垂直于a在平面a内的射影a,则 alb B.若a是平面a的斜线，平面B内的直线b垂直于a在平面a内的 射影a',则a⊥b C,若a是平面a的斜线，直线b平行于平面a,且b垂直于在平面 a内的射影'，则a⊥b D,若a是平面a的斜线，b是平面a内的直线，且b垂直于a在另 个平面内的射影a',则a⊥b
导航 4.做一做:下列命题正确的是( ) A.若a是平面α的斜线,直线b垂直于a在平面α内的射影a',则 a⊥b B.若a是平面α的斜线,平面β内的直线b垂直于a在平面α内的 射影a',则a⊥b C.若a是平面α的斜线,直线b平行于平面α,且b垂直于a在平面 α内的射影a',则a⊥b D.若a是平面α的斜线,b是平面α内的直线,且b垂直于a在另一 个平面β内的射影a',则a⊥b
导航 解析：对于C,因为直线bIa,设过直线b的平面B与平面a的交线 为b',显然bIb',又因为b垂直于a在平面a内的射影a',所以b'也 垂直于a在平面a内的射影a',由三垂线定理，得b'L,即得MLb. 故C正确. 答案：C
导航 解析:对于C,因为直线b∥α,设过直线b的平面β与平面α的交线 为b',显然b∥b',又因为b垂直于a在平面α内的射影a',所以b'也 垂直于a在平面α内的射影a',由三垂线定理,得b'⊥a,即得a⊥b. 故C正确. 答案:C
导航 思考辨析】 判断正误（正确的画“√，错误的画“×） ()平面的法向量是唯一的.() (2)平面的法向量垂直于平面内的所有向量.() 3)直线的方向向量为y,平面a的法向量为n,l4a,则 lIla台vn=0,l⊥a台vlln.( (4)设n1,n2分别为平面a,的法向量(a,B不重合)，则 aLf→n1⊥n2,allf→n1lnz(
导航 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)平面的法向量是唯一的.( × ) (2)平面的法向量垂直于平面内的所有向量.( √ ) (3)直线l的方向向量为v,平面α的法向量为n,l⊄α,则 l∥α⇔v·n=0,l⊥α⇔v∥n.( √ ) (4)设n1 ,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),则 α⊥β⇔n1⊥n2 ,α∥β⇔n1∥n2 .( √ )
导航 课堂·重难突破 探究一求给定平面的法向量 【例1】已知平面a经过A(1,2,3),B(2,0,-1),C3,-2,0)三点，试求 平面a的一个法向量. 解：.A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),∴.AB=(1,-2,-4),AC=(2,-4,-3) 设平面a的法向量为n=(xy,z),则nLAB,n⊥AC, a=24好0n部得化二6令=1则2， nAC=2x-4y-3z=0, ∴.平面a的一个法向量n=(2,1,0)
导航 课堂·重难突破 探究一 求给定平面的法向量 【例1】已知平面α经过A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0)三点,试求 平面α的一个法向量. 解:∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),∴𝑨 𝑩 =(1,-2,-4),𝑨 𝑪 =(2,-4,-3). 设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z),则 n⊥𝑨 𝑩 ,n⊥𝑨 𝑪 , ∴ 𝒏·𝑨 𝑩 = 𝒙-𝟐𝒚-𝟒𝒛 = 𝟎, 𝒏·𝑨 𝑪 = 𝟐𝒙-𝟒𝒚-𝟑𝒛 = 𝟎, 解得 𝒙 = 𝟐𝒚, 𝒛 = 𝟎, 令 y=1,则 x=2, ∴平面 α 的一个法向量 n=(2,1,0)