2)平面的法向量的性质 ①如果直线垂直平面a,则直线的任意一个 都是平 面a的一个法向量 ②如果n是平面a的一个法向量，则对任意的实数≠0，空间向 量也是平面α的一个法向量，而且平面a的任意两个法向量 都 ③如果n为平面a的一个法向量，A为平面a上一个已知的点，则 对于平面a上任意一点B,向量AB一定与向量n 即 ,从而可知平面a的位置可由n和A唯一确定
导航 (2)平面的法向量的性质 ①如果直线l垂直平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平 面α的一个法向量. ②如果n是平面α的一个法向量,则对任意的实数λ≠0,空间向 量 λn 也是平面α的一个法向量,而且平面α的任意两个法向量 都平行 . ③如果n为平面α的一个法向量,A为平面α上一个已知的点,则 对于平面α上任意一点B,向量 一定与向量n垂直, 即 ·n=0 ,从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 𝑨 𝑩 𝑨 𝑩
导航 3.做一做：在正方体ABCD-A1BCD1中，平面BC1D的法向量可 以是 ;平面BCCB,的法向量可以是 (举 一例即可)， 答案：A1CAB
导航 3.做一做:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面BC1D的法向量可 以是 ;平面BCC1B1的法向量可以是 (举 一例即可). 答案:𝑨 𝟏 𝑪 𝑨 𝑩
导期 二、线面平行、垂直，面面平行、垂直与向量的关系 【问题思考】 1.若直线的方向向量和平面α的法向量平行，测是否一定有 LLa?l的方向向量和a的法向量垂直时，是否一定有lIla? 提示：一定；不一定，可能lca 2.设v1V2分别是平面a,的法向量，若v1Ilv2,则平面a,的位置 关系如何？ 提示：aB或a与B重合
导航 二、线面平行、垂直,面面平行、垂直与向量的关系 【问题思考】 1.若直线l的方向向量和平面α的法向量平行,则是否一定有 l⊥α?l的方向向量和α的法向量垂直时,是否一定有l∥α? 提示:一定;不一定,可能l⊂α. 2.设v1 ,v2分别是平面α,β的法向量,若v1∥v2 ,则平面α,β的位置 关系如何? 提示:α∥β或α与β重合
3.填空：设n是直线的一个方向向量，向量v,u分别是平面 a,的法向量 则有：nlv台 nLv←→ V⊥u←→ vlIu←台 4.做一做：若直线的方向向量a=(1,0,-1),向量v=(-2,0,2), u=3,3,3)分别是平面a,的一个法向量，则1与a的关系 为 ;与的关系为 a与的关系为 答案：ILa Ill或lc阝a⊥f
导航 3.填空:设n是直线l的一个方向向量,向量v,u分别是平面 α,β的法向量. 则有:n∥v⇔ l⊥α ; n⊥v⇔ l∥α或l⊂α ; v⊥u⇔ α⊥β ; v∥u⇔ α∥β或α,β重合. 4.做一做:若直线l的方向向量a=(1,0,-1),向量v=(-2,0,2), u=(3,3,3)分别是平面α,β的一个法向量,则l与α的关系 为 ;l与β的关系为 ;α与β的关系为 . 答案:l⊥α l∥β或l⊂β α⊥β
导航 三、三垂线定理及其逆定理 【问题思考】 1.若空间直线l与平面a的斜线a垂直，则l与a在a内的射影一定 垂直吗？为什么？ 提示：不一定.因为可能不在α内，且lL的情形很多. 2.若直线c平面a,平面a的斜线a在a内的射影为a',且lLa',则1 与是什么关系？ 提示：垂直
导航 三、三垂线定理及其逆定理 【问题思考】 1.若空间直线l与平面α的斜线a垂直,则l与a在α内的射影一定 垂直吗?为什么? 提示:不一定.因为l可能不在α内,且l⊥a的情形很多. 2.若直线l⊂平面α,平面α的斜线a在α内的射影为a',且l⊥a',则l 与a是什么关系? 提示:垂直