GRBColor[h27],其中05≤1i=123表示一种颜色。 Mathematica新命令】 通过动画演示理解极限概念 A,则。如何理解这句话呢?首先我们以数列248…、1一个确定的常数 数列极限概念的通俗说法是:若当n充分大时,如m能充分接近与唯 l11 为例来做实验。 例1观察数列当n→>∞时的变化趋势 解用 Table命令先选取数列的前10项进行观察 aa= Table[1/n^2,{n,1,10}]//N 结果:{1.,0.25,0.111110.0625,0.04,0.027778,0.0204082,0.015625, 0.0123457,0.01} 用 Listplot画出其散点图,执行后观察数列的变化趋势。 ListPlot/aa, PlotRange->110, 118/-0.2, 18/ 如图 10 从上图可以看出,当n增大时,数列(2”逐渐趋近于0 再选取数列的前20项进行观察 bb=Table(1/n 2,n, 1, 201//N 结果:{1.,0.25,0.111100625,0.04,0.0277780.02040820015625,0.0123457, 001,0.00826446,0.00694444,0.00591716,0.00510204,0.0044440.00390625, 000346021,0.00308642,0.00277008,0.0025} 再用 ListPlot画出其散点图,执行后观察数列的变化趋势 ListPlot/bb, PlotRange-> 0, 201, -0.2, B1 如图: 0.8 2.557.51012.51517.520
GRBColor[ 1 2 3 r ,r ,r ]，其中 0 ri 1,i =1,2,3 表示一种颜色。 【Mathematica 新命令】 一、通过动画演示理解极限概念 数列极限概念的通俗说法是：若当 n 充分大时， n a 能充分接近与唯一一个确定的常数 A ，则 an A n = → lim 。如何理解这句话呢？首先我们以数列 n 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 为例来做实验。 例 1 观察数列 2 1 n an = 当 n → 时的变化趋势。 解 用 Table 命令先选取数列的前 10 项进行观察。 用 ListPlot 画出其散点图，执行后观察数列的变化趋势。 从上图可以看出，当 n 增大时，数列 n 2 1 逐渐趋近于 0。 再选取数列的前 20 项进行观察。 再用 ListPlot 画出其散点图，执行后观察数列的变化趋势。 aa=Table[1/n^2,{n,1,10}]//N 结果：{1., 0.25, 0.111111, 0.0625, 0.04, 0.0277778, 0.0204082, 0.015625, 0.0123457, 0.01} ListPlot[aa,PlotRange->{{0,11},{-0.2,1}}] 如图： bb=Table[1/n^2,{n,1,20}]//N 结果：{1., 0.25, 0.111111, 0.0625, 0.04, 0.0277778, 0.0204082, 0.015625, 0.0123457, 0.01, 0.00826446, 0.00694444, 0.00591716, 0.00510204, 0.00444444, 0.00390625, 0.00346021, 0.00308642, 0.00277008, 0.0025} ListPlot[bb,PlotRange->{{0,20},{-0.2,1}}] 如图：
从上图再次可以看出,当乃增大时,数列(2确实逐渐趋近于 再逐次作数列前30、40、50等项的散点图,注意纵横上刻度的变化,可以更加确信数 列趋于0。因此可得n20 可通过下面的动画程序理解数列极限的概念 Forli=100, i>=10, i=i-10, aa=Table[ 1/n 2, n, 1, i//N ListPlot]aa, PlotRange->((0, 1001, (-0.2, 13311 运行程序后,得到一系列图形,选中所有图形(用鼠标单击最右边括号,使之变色),再单 击胶卷图标,即可动画演示(想终止动画,单击空白处) f∫(x)= 例2分析函数 当x→>∞时的变化趋势。 解先取一个较小的范围,如区间[-10,10],作出函数在这一区间上的图形 Plo1x^2=Sin{x,x,-10.,10 如图 手住区间 函数的图 Plot(1/2*Sin/x/,/x,40, 408/ 结果 f(x) sin x 从上面两个图形可以看出当增大时,函数 逐渐趋于0。 可通过下面的动画程序理解函数极限的概念 fx: =1/x 2*Sin x|; ForlF10, i<=30, i=i+2, Plot(] x, -i,i), PlotRange->f(-30, 303,1-0.2,0.233II 运行程序后,得到一系列图形,选中所有图形(用鼠标单击最右边括号,使之变色),再单
从上图再次可以看出，当 P3 增大时，数列 n 2 1 确实逐渐趋近于 0。 再逐次作数列前 30、40、50 等项的散点图，注意纵横上刻度的变化，可以更加确信数 列趋于 0。因此可得 0 2 1 lim = → n n 。 可通过下面的动画程序理解数列极限的概念。 运行程序后，得到一系列图形，选中所有图形（用鼠标单击最右边括号，使之变色），再单 击胶卷图标，即可动画演示（想终止动画，单击空白处）。 例 2 分析函数 x x f x sin 1 ( ) 2 = 当 x → 时的变化趋势。 解 先取一个较小的范围，如区间[-10，10]，作出函数在这一区间上的图形。 再在区间[-20，20]内作出这一函数的图形 从上面两个图形可以看出当 x 增大时，函数 x x f x sin 1 ( ) 2 = 逐渐趋于 0。 可通过下面的动画程序理解函数极限的概念。 运行程序后，得到一系列图形，选中所有图形（用鼠标单击最右边括号，使之变色），再单 For[i=100,i>=10,i=i-10,aa=Table[1/n^2,{n,1,i}]//N; ListPlot[aa,PlotRange->{{0,100},{-0.2,1}}]] Plot[1/x^2*Sin[x],{x,-10,10}] 如图： Plot[1/x^2*Sin[x],{x,-40,40}] 结果： f[x_]:=1/x^2*Sin[x];For[i=10,i<=30,i=i+2,Plot[f[x],{x,-i,i},PlotRange->{{-30,30},{-0.2,0.2}}]]
f(x=-sin x 击胶卷图标,即可动画演示(想终止动画,单击空白处)。可得函数 xX→ 时的极限为0。 练习1借助于上面两个动画演示程序考察下列函数(或数列)在给定极限过程中的变 化趋势 sin x f(x)=(1+-) f(x)=xsin an=(1+-) (3) x,x→>0(4) n→0 练习2已知数列x=2,xm=2+x ,画图观察数列的极限是否存在? 二、极限的计算 例3判极限x→0的存在性,若存在,求出其极限。注意左右极限的用法。 解先注意下列结果是否正确 Limit[Exp-1/x],x->0结果:0 下面区分极限方向再判断 Limit Expl-1/xl,x->0, Direction->-11结果:0 Limit(Expl-1/x1, x->0, Direction->+1| t: Infinity lim e I 从上面的结果可以判断x∽0不存在。很显然第一次计算的结果是错误的 例4计算下列极限 xsin x+cosx-1 m (1)Limi(3a,n> Infinit, Direction-x1结果:E Limit(+)~(3m),n-> Infinity, Direction-)+结果:E 由此可得 (2)Limit((x*Sin(x)+ Cos x] -1)/x 2, x->0, Direction->-1| 4R: 2 lim -sin x+ cosx-l 1 由此可得
击胶卷图标，即可动画演示（想终止动画，单击空白处）。可得函数 x x f x sin 1 ( ) 2 = 当 x → 时的极限为 0。 练习 1 借助于上面两个动画演示程序考察下列函数（或数列）在给定极限过程中的变 化趋势。 （1） x x f x sin ( ) = ， x →0 （2） x x f x ) 1 ( ) = (1+ ， x → （3） x f x x 1 ( ) = sin ， x →0 （4） n n n a ) 1 = (1+ ，n → 练习 2 已知数列 x1 = 2 ， n n x = + x +1 2 ，画图观察数列的极限是否存在？ 二、极限的计算 例 3 判极限 x x e 1 0 lim − → 的存在性，若存在，求出其极限。注意左右极限的用法。 解 先注意下列结果是否正确？ 下面区分极限方向再判断： 从上面的结果可以判断 x x e 1 0 lim − → 不存在。很显然第一次计算的结果是错误的。 例 4 计算下列极限 （1） n n n 3 1 lim 1 + → （2） 2 0 sin cos 1 lim x x x x x + − → （3） x x 1 lim sin →0 由此可得 3 3 1 lim 1 e n n n = + → 。 由此可得 2 sin cos 1 1 lim 2 0 = + − → x x x x x 。 Limit[Exp[-1/x],x->0] 结果：0 Limit[Exp[-1/x],x->0,Direction->-1] 结果：0 Limit[Exp[-1/x],x->0,Direction->+1] 结果：Infinity （1）Limit[(1+1/n)^(3n),n->Infinity,Direction->-1] 结果： 3 E Limit[(1+1/n)^(3n),n->Infinity,Direction->+1] 结果： 3 E （2）Limit[(x*Sin[x]+Cos[x]-1)/x^2,x->0,Direction->-1] 结果： 2 1 Limit[(x*Sin[x]+Cos[x]-1)/x^2,x->0,Direction->+1] 结果： 2 1
(3)Limit(Sin(1/x], x->0, Direction->-1| tA: Interval[( -1, 1)1 Limit Sin 1/xl,x->0. Direction+11结果: Interval-1,1(在(-11)之间振荡) Plot(Sin1/x,x,0.5,0.5}如下图 直接计算不能凑效 (1) Limit(-1)^(2n,n-> Infinity, Direction->-1结果: Indeterminate(不定式) Limit(1)^(2n),n-> Infinity, Direction->+1结果: Indeterminate(不定式) (2) Limit[Logix/x,x->0, Direction->-l不能直接计算出结果。 Limit[ Log|x]/x,x->0, Direction->+1]不能直接计算出结果 改变函数形式后在计算,问题就可得到解决 (1)Limit(((-1)2)n, n->Infinity, Direction->-1| A:I Limit(((-1)/2)n, n->Infinity, Direction->+1| #R:1 im(-1)=1 由此可得n→ (2)Limit[ Log[x (1/x)l, x->0, Direction->-1 R:-Infinity Limit LogIx"(1/x)1, x->0, Direction->+1 R: Infinity lim nr 由此可得x0x (不存在)。 例6求下列极限的近似值 Iim +3x3-5 (2)n→n”(精度为10 im1+-+-+…+ (1)法一用 Limit命令先求左、右极限 Limit((x*3-1)/(x4+3x* 2+2x-1)x->1, Direction->-1 LR: 5
例 5 计算下列极限。 （1） n n 2 lim (−1) → （2） x x x ln lim →0 直接计算不能凑效。 改变函数形式后在计算，问题就可得到解决。 由此可得 lim ( 1) 1 2 − = → n n 。 由此可得 = → x x x ln lim 0 （不存在）。 例 6 求下列极限的近似值。 （1） 3 5 2 1 1 lim 4 3 2 3 1 + − + − − → x x x x x x （2） n n n n! lim → （精度为 6 10 − ） （3） + + + + n→ n 1 3 1 2 1 lim 1 （1）法一 用 Limit 命令先求左、右极限。 （1）Limit[(-1)^(2n),n->Infinity,Direction->-1] 结果：Indeterminate（不定式） Limit[(-1)^(2n),n->Infinity,Direction->+1] 结果：Indeterminate（不定式） （2）Limit[Log[x]/x,x->0,Direction->-1] 不能直接计算出结果。 Limit[Log[x]/x,x->0,Direction->+1] 不能直接计算出结果。 （1）Limit[((-1)^2)^n,n->Infinity,Direction->-1] 结果：1 Limit[((-1)^2)^n,n->Infinity,Direction->+1] 结果：1 （2）Limit[Log[x^(1/x)],x->0,Direction->-1] 结果：-Infinity Limit[Log[x^(1/x)],x->0,Direction->+1] 结果：Infinity Limit[(x^3-1)/(x^4+3x^3-5x^2+2x-1),x->1,Direction->-1] 结果： 5 3 Limit[(x^3-1)/(x^4+3x^3-5x^2+2x-1),x->1,Direction->+1] 结果： 5 3 （3）Limit[Sin[1/x],x->0,Direction->-1] 结果：Interval[{-1, 1}] Limit[Sin[1/x],x->0,Direction->+1] 结果：Interval[{-1, 1}]（在 (−1,1) 之间振荡） Plot[Sin[1/x],{x,-0.5,0.5}] 如下图：