力单 三.平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。 =J+Md 任一轴:=/]质心轴两轴距离 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行 的轴的转动惯量,加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积
11 三. 平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。 2 J ' J Md z = z + 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行 的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。 任一轴：z’//z 质心轴 两轴距离
学 证明:设质量为M的刚体,质心为C,Oz∥Cz =∑m2=∑m(x2+y3) ∑mr"2=∑m,(x"2+y"2) y(y x1=x2,y1=y td x ∑m[x2+(y,+d)1 y y =∑m1(x2+y12)+(∑m1)d2 +2d∑m1y ∑m=M,∑my1=Me=0∴J=J2+Ml 刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值 例如,对于例8中均质细杆z′轴的转动惯量为 J=J1+mG)2=1m+m/31 =-ml2 4 12
12 = = ( + ) 2 2 2 z i i i i i J m r m x y = ' = ( ' + ' ) 2 2 2 z' i i i i i J m r m x y = + + = = + [ ( ) ] ' , ' 2 2 ' J m x y d x x y y d z i i i i i i i + = + + i i i i i i d m y m x y m d 2 ( ) ( ) 2 2 2 证明：设质量为M的刚体，质心为C， O'z'//Cz = = = = + 2 ' mi M , mi yi MyC 0 J z J z Md 例如，对于例8中均质细杆z' 轴的转动惯量为 2 2 2 2 3 1 4 1 12 1 ) 2 ' ( ml ml ml l J z = J z + m = + = 刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值
学 「例9图示复摆,已知 均质细杆:m,L;有 孔圆盘:M,R,r,求 摆对过O点且垂直于图 面的轴的转动惯量。 十 R 解:JD=J种+J盘-J孔 2 1 杆m2 J*=m R+m,l+r) 3 2 J = m, r2+m, (L+r)2 2 13
13 解： [例9]图示复摆，已知 均质细杆：m，L；有 孔圆盘：M，R，r，求 摆对过O点且垂直于图 面的轴的转动惯量。 杆 盘 孔 J J J J O = + − 2 3 1 J杆 = mL 2 1 2 1 ( ) 2 1 J盘 = m R + m L + R 2 2 2 2 ( ) 2 1 J孔 = m r + m L + R
学 C 十 M MR 其中,盘的质量:m1= 一nR2 TR-Tr R 孔的质量:m2.R2-m2m2=4 M R J=mL2+(R2+r2)+M(L+R) 3 2
14 其中，盘的质量： 2 2 2 2 1 2 2 R r MR R R r M m − = − = 孔的质量： 2 2 2 2 2 2 2 R r Mr r R r M m − = − = 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 1 3 1 J O = mL + R + r + M L + R
学 §8-4动量矩定理 一·质点的动量矩定理h2d(×m) 2 dt dt d(mv) ×m1+P× dt F =r×y =v×mv+r×F X 而vxm=0,F×F=m2(F) dh 故: =m2(F) 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数,等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。 15
15 dt d r mv dt dhO ( ) = §8-4 动量矩定理 一．质点的动量矩定理 v mv 0 , r F m (F), 而 = = O m (F ) dt dh O O = 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。 故： dt d mv mv r dt dr ( ) = + = v mv + r F