学 转动惯量 (一)转动惯量的概念 1定义:刚体内各质点的质量与各质点到某轴距离平方的乘 积的总和,称为刚体对该轴的转动惯量 2 J=2mi, r 对于质量是连续分布的刚体,则J2=r2dm ①转动惯量与刚体的质量和质量分布情况以及点(或轴)的 位置有关; ②恒为正标量; ③单位:kgm 2物理意义:刚体转动时惯性的度量
6 (一)转动惯量的概念 二．转动惯量 1.定义：刚体内各质点的质量与各质点到某轴距离平方的乘 积的总和，称为刚体对该轴的转动惯量。 = 2 z i i J m r ①转动惯量与刚体的质量和质量分布情况以及点（或轴）的 位置有关； ②恒为正标量； ③单位：kg·m2 2.物理意义：刚体转动时惯性的度量。 对于质量是连续分布的刚体，则 J z = r dm 2
力单 3.回转半径 由P:=M所定义的长度称为刚体对=轴的回转半径或 惯性半径。 若已知P2,则刚体的转动惯量为:J2=MD2 注意:p2不是刚体某一部分的具体尺寸,而是这样一个 当量长度:假象地将刚体的质量集中在一个点上,如果这个点 对某轴的转动惯量等于这个刚体对该轴的转动惯量,则这个点 到该轴的距离就是这个刚体对该轴的回转半径。 p为长度量纲
7 3. 回转半径 由 所定义的长度ρz 称为刚体对 z 轴的回转半径或 惯性半径。 M J z z = 若已知ρz ，则刚体的转动惯量为： 2 z M z J = 注意： ρz 不是刚体某一部分的具体尺寸，而是这样一个 当量长度：假象地将刚体的质量集中在一个点上，如果这个点 对某轴的转动惯量等于这个刚体对该轴的转动惯量，则这个点 到该轴的距离就是这个刚体对该轴的回转半径。 ρz为长度量纲
学 类似:刚体内各质点的质量与各质点到某点距离平方的乘积 的总和,称为刚体对该点的转动惯量 O=∑mf x十 (二)计算转动惯量的一般公式 取直角坐标系Oxyz,设刚体上任 点M:m,(x,形,z),则 V+2 由定义: ∑m(y2+二2) J,=∑m(21+x2) J2=∑m(x2+y2) J=∑m12=m(x2+y2+=2)=(+J+J) 2 8
8 类似：刚体内各质点的质量与各质点到某点距离平方的乘积 的总和，称为刚体对该点的转动惯量。 = 2 O i i J m r (二)计算转动惯量的一般公式 取直角坐标系Oxyz，设刚体上任 一点Mi：mi，（xi，yi，zi），则 由定义： = ( + ) 2 2 x i i i J m y z = ( + ) 2 2 y i i i J m z x = ( + ) 2 2 z i i i J m x y ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 2 O i i i i i i x y z J = m r =m x + y + z = J + J + J
学 即:刚体对点的转动惯量等于刚体对通过该点的三个垂直轴 的转动惯量之和的一半 对于平面薄板:z=0,∴ x=∑my J,=∑m1x J=Emr 2=2m, (x?+y2)=J,+,=Jo 即:平面薄板对点的转动惯量等于板对通过该点并在薄板 内的相互垂直的两个轴的转动惯量之和
9 即：刚体对点的转动惯量等于刚体对通过该点的三个垂直轴 的转动惯量之和的一半。 对于平面薄板：zi=0，∴ = 2 x i i J m y = 2 y i i J m x 即：平面薄板对点的转动惯量等于板对通过该点并在薄板 内的相互垂直的两个轴的转动惯量之和。 z i i i i i x y O J = m r =m (x + y ) = J + J = J 2 2 2
学 (三)转动惯量的计算 1.对简单形状的均质刚体,用积分法 [例81匀质细直杆长为1质量为m。求:对轴的转动惯量 Xyd 1/2 l/2 解: J x dm 2 m x/<=ml 12 2对于可分为几个简单形状的均质刚体,先求出各部分对 指定轴(或点)的转动惯量再求总和组合法。 3对于形状复杂或非均质刚体,可用实验方法求转动惯量: 扭摆法、复摆法。 0
10 １．对简单形状的均质刚体，用积分法 [例8] 匀质细直杆长为l ,质量为m 。求：对z轴的转动惯量 J z 。 （三）转动惯量的计算 2 2 2 2 2 2 2 12 1 dx ml l m J x dm x l l l z l = = = 解： − − 2.对于可分为几个简单形状的均质刚体，先求出各部分对 指定轴（或点）的转动惯量再求总和——组合法。 3.对于形状复杂或非均质刚体，可用实验方法求转动惯量： 扭摆法、复摆法