理论力学 L4
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学 本章研究拉格朗日第二类方程(简称拉格眀日方程) 他是研究动力学问题的又一有力手段,在解决非自由质点 系的动力学问题时,显得十分简捷、规范
2 本章研究拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。 他是研究动力学问题的又一有力手段，在解决非自由质点 系的动力学问题时，显得十分简捷、规范
力单 §111广义力以广义力表示的质点系的平衡条件 广义力 设有n个质点组成的质点系,具有k个自由度,可由k个广 义坐标q1,q2,…,q确定其位置。在非定常约束下,质点 系中任一质点M的矢径 F1=r(q12q2…qk21)(=1,2,…n) M的虚位移(固定时间t): or ar 1+c2+…+。ck 41 ogk k ar ∑· 1 (i=1,2,…n)
3 §11-1 广义力 以广义力表示的质点系的平衡条件 设有n个质点组成的质点系，具有k个自由度，可由k个广 义坐标q1， q2，... ， qk 确定其位置。在非定常约束下，质点 系中任一质点Mi的矢径 一、广义力 ( , , , ) ( 1,2, ) ri = ri q1 q2 qk t i = n Mi的虚位移（固定时间t）： = = = + + + = k j j j i k k i i i i q i n q r q q r q q r q q r r 1 2 2 1 1 ( 1,2, ) ...
学 设作用在M上的主动力为F,则作用于质点系上所有 主动力的元功之和: 8==业F立=(Fm j=1 i=1 令Q=∑F ar 一对应于广义坐标q;的广义力 则:W=∑Q 广义力的量纲取决于广义坐标的量纲:9:长度,g:力 9:角度,Q:力矩;广义力的数目一广义坐标的数目。 二、广义力的计算方法 1、解析式
4 设作用在Mi上的主动力为Fi，则作用于质点系上所有 主动力的元功之和： j j i n i i k j j k j j i n i i i n i i q q r q F q r W F r F ( ) 1 1 1 1 1 = = = = = = = = j i n i j i q r Q F = =1 令 ——对应于广义坐标qj 的广义力 j k j W Qj q = = 1 则： 广义力的量纲取决于广义坐标的量纲：qj：长度，Qj：力； qj：角度，Qj：力矩；广义力的数目=广义坐标的数目。 二、广义力的计算方法 1、解析式
学 F=Xi+YJ+Zk,r=xi+y j+z,k x1、y、z均是广义坐标q1、q2、…、q及时间的函数。 az 2 ∑F =(X+Y+Zk)(++k) ax az =∑(X +Y +Z1) aa 2、实际应用时,由 k DW=∑9a,=g+Q22+…+Qak 由于各广义坐标彼此独立,所以在求某个广义力9时 ,仅使对应的广义坐标q变分δq,而其余的广义坐标则保 持不变。即:令6q0,8q=0(=1,2,,n,≠)
5 ( ) 1 j i i j i i j i i n i j q z Z q y Y q x Q X + + = = F X i Y j Z k r x i y j z k i = i + i + i i = i + i + i , xi、yi、zi均是广义坐标q1、q2、...、qk及时间t的函数。 ( ) ( ) 1 1 k q z j q y i q x X i Y j Z k q r Q F j i j i j i i i i n i j i n i j i + + = + + = = = 2、实际应用时，由 j k k k j W = Qj q = Qq + Q q + + Q q = ... 1 1 2 2 1 由于各广义坐标彼此独立，所以在求某个广义力Qj时 ，仅使对应的广义坐标qj变分 qj，而其余的广义坐标则保 持不变。即：令 qj≠0， qi=0（i=1，2，...n，i ≠ j）