北京大学：《量子力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 一维定态问题

第三章一维定态问题 返回 在蠛续阐述量子力学基本原理之前,先用 Schrodinger方程來处理 类筒阜的题 维定走问题。其好处有四 (1)有助于具体理解巳学过的基本原理 (2)有助于进一步阐明其他基本原理 (3)处理一维问题,数学简单,从而能对结果进行细政讨论,量子 体系的许多物征都可以在这些一维向题中展现出来 (4)一维问题还是处理各种复条问题的基础。 51一维无限深势阱 81 §2线性谐振子 §2 §3一维势散射问题 §3

第三章 一维定态问题 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理 一类简单的问题——一维定态问题。其好处有四： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子 体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。 §1 一维无限深势阱 §2 线性谐振子 §3 一维势散射问题 §1 §2 §3 返回

§1 维无限深势阱 ()一维运动 (二)一维无限深势阱 (三)宇称 (四)讨论

§1 一维无限深势阱 （一）一维运动 （二）一维无限深势阱 （三）宇称 （四）讨论 返回

(-)一维运动 当粒子在势场v(x,y,z) 中运动时,其 H y 九2 V+V(x, y, zly(x, y,z)=Ey(x,y,z) Schrodinger方程为: 此方程是一个二阶偏微分方程。考勢可写成 y(x, y, z)=X(x) Y(y)Z(z) (x,y,z)=V1(x)+V2(y)+V3(z) E=Ex Ey Ex 形式,则S方程可在直角坐标系中分离变量。 于是S方翟化为三个常微分方程 n- d +y(x)X(x)=ErX 2u dx 所谓一维运 人=h+()Y()=E,(y) 动就是指在 某一方向上 2H2+V3(z)Z(z)=E2E(z) 的运动

（一） 一维运动 所谓一维运 动就是指在 某一方向上 的运动。 此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。 令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化为三个常微分方程： 当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其 Schrodinger 方程为： ( , , )] ( , , ) ( , , ) 2 [ ˆ 2 2 H V x y z  x y z E x y z   = −  + =  ( )] ( ) ( ) 2 [ ( )] ( ) ( ) 2 [ ( )] ( ) ( ) 2 [ 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 V z Z z E Z z dz d V y Y y E Y y dy d V x X x E X x dx d z y x − + = − + = − + =      

V+V(x, z)v(x,y, z)=Ey(x, y, z) 设:V(x,y,)=V1(x)+V2(y)+V3(z) 令:ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)z(z) x(x)()2(2)+k(x)+(0)+(y(x,y,)=Ev(x,yz) 2pldx' dydz u dr2 x +V(x)y+xz-h'd2 h2 d h- d 2 2u dy r+v(ww +XY 2udZ +V,(a)y=Ey(x, J,z) 尊式两边除以(x,yz=X(x)Y(y)Z(z) h- d X 2u dx 计1计 n- d 2u dx2+l(o)x(x)=E,X(x) 其中 1-2d2+20)()=E,(y) E=E +e +E n- d 1-2ah2x+p(2)2(z)=E2(x)

( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 2 2 V x y z  x y z E x y z   =  −  +  ( ) ( , , ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 Z V z E x y z dzd Y V y XY dyd X V x XZ dxd YZ         + =    + + −    + + −  −    ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) 2 2 1 2 3 2 22 2 2 2 X x Y y Z z V x V y V z x y z E x y z dzd dyd dxd     + + + =   − + +  Z V z E dzd Z Y V y dyd Y X V x dxd X =    +  + −    +  + −    + − ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2       ( , , ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 设：V x y z =V x +V y +V z 等式两边除以 （ x, y,z) = X(x)Y( y)Z(z) ( )] ( ) ( ) 2 [ ( )] ( ) ( ) 2 [ ( )] ( ) ( ) 2 [ 2 3 2 22 2 2 22 1 2 2 V z Z z E Z z dzd V y Y y E Y y dyd V x X x E X x dxd z yx − + = − + = − + =     其中 E = E x + E y + E z 令：  ( x, y,z ) = X ( x ) Y ( y ) Z ( z ) 返回

(二)一维无限深势阱 luka Ixa 求解S方程分四步 (1)列出各势域的一维S一方程 (2)解方程 (3)使用波函数标准条件定解 (4)定归一化系数

（二）一维无限深势阱 求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数       = x a x a V x | | 0, | | ( ) -a 0 a V(x) I II III