第一讲线性变频与二防矩阵 第一坪 1×(-1)+2×3 0×(-1)+1×3 定义了二阶矩阵与平面向量的乘法以后,任何一个线性变换 x=ax+b(a,b,c,d均为常数 y=cr+dy 都可以表示成 y 反之,在直角坐标系xOy内,任何一个二阶矩阵A都唯一确定了一个线性变换,这个变换 把每一个向量a=变成了新向量Aa=A这样,我们就实现了用二阶矩阵和平面向 y 量的乘积表示线性变换的目的 例2设矩阵A-01,求点P2,2)在A所对应的线性变换的作用下的像P的 坐标 解:因为向量“在矩阵A对应的线性变换作用下变为向量 10 012 2 所以,点P的坐标为(-2,2) 习趣好 r=rth 1.直角坐标系xOby内的平移变换 (其中h,k是不全为0的常数) y=y+k 能写成二阶矩阵与平面向量乘积的形式吗? 2.设A= 2= 11 ,求Am1,Aa2,Aa 3.设A=2~3 ,直角坐标系xOy内的点P(1,1)在矩阵A所对应的线性变换的作 3 22 ■■13
CHAPTER 通离中课程标准实验教科书数学(远修42)矩阵与变换 用下变成点P(x,y),求x,y b 4cd/是任意一个二阶矩阵(其中a,b,c,d均为常数),记/’J 求A0,Ai,Aj 5.设矩阵M对应的线性变挟把点A(1,2)变成点A(2,3),把点B(-1,3)变成点 B(2,1),那么这个线性变换把点C(-2,3)变成什么? 线性变换的基本性质 在平面几何的学习中我们直观地看出,经过轴对称变换、旋转变换等,平面上的直 线变为直线,三角形变为三角形,…一般地,在线性变换下,是否仍然有直线变为直 线,三角形变为三角形,…呢?这就是本节要研究的线性变换的性质问题。我们将以二 阶矩阵为工具研究线性变换的基本性质,并进一步研究线性变换对平面图形的作用 一)线性变换的基本性质 为了研究线性变换的性质,我们先定义“数乘平面向量”和“平面向量加法”: 设向量a=,规定实数λ与向量a的乘积λa= 设向量a=,B=,规定向量a与B的和a yu+yr /操宠 你能作图说明上述数乘平面向量和平面向量加法的几何意义吗? 前面定义了二阶矩阵与平面向量的乘法.自然地,我们要考察相应的运算律问题 14
第一讲线性变频与二的矩阵 第一拼 设向量a=。,如图1.3-1,把向量a先伸长2倍再按逆时针方向旋转90;把: 向量α先按逆时针方向旋转90°再伸长2倍,这两个过程的结果相同吗? 图1.3-1 eaaesaununneneennans 绕原点按逆时针方向旋转90°的旋转变换的矩阵为A=/0 10·上面的结果可以表示 为A(2a)=2Aa.利用矩阵与向量的乘法也能验证这个结果,请同学们自己完成 一般地,设A是一个二阶矩阵,a是平面上的任意一个向量,λ是一个任意实数,是 否也有A(a)=MAa成立呢? b 事实上,设A= d 君= ,则 b A(im)= dilly cdλ aAx+bxy cArta Aax+Ab acx+ad a bx AAa=d dly -alar+hy r+d Aax+ab 15
CHAPTER 苦通高中课程标准实验科书戴学(远修42)矩阵与变颅 所以 ACAa)=xA 01·如图132,先利用平行四边形法则求a+队再对向量(a +B进行关于x轴的反射变换;或者,先对向量a,B做关于x轴的反射变换,再利用平 行四边形法则求反射变换后的两个向量的和,这两个过程的结果相同吗? 图1.32 关于x轴的反射变换的矩阵为A= 上面的结果可以表示为 0-1 A(a+B)=Aa+AB 利用矩阵与向量的乘法也能验证这个结果,请同学们自己完成 般地,设A是一个二阶矩阵,a,阝是平面上的任意两个向量,是否也有A(a+p=A AB成立呢? 事实上,设A=/b1 ,《= B=-,因为 c d a+B)= b d blairs C vi+yy a(x1+x2)+6y+y2) (x1+x2)+d(y+y (axi+by)+(ary+by) (cxi+dy)+(cr+dy bla a blay Aa+AB C y y
第一讲线性变与二矩阵 第一 axt+b a.2 cardy lcr+dye (.,)+(ax+by) (cr+dy)+(cr+dy) 所以 A(a+B)=Aa+Ap 综上所述,线性变换有如下基本性质 性质1设A是一个二阶矩阵,a,阝是平面上的任意两个向量,A是一个任意实 数,则 (1)A(a)=A (2)A(a+B)=Aa+Ap 综合上述两条性质,可以得到: 定理1设A是一个二阶矩阵,a,P是平面上的任意两个向量,A,A2是任意两个 实数,则 A(,a+A B)=A, Aa+a:AB. 证明:由性质1得 A(a,a+A B)=A(, a)-+A(A- p) =A1Aa+A24卩 点,线是构成平面图形的基本元素,由变换的概念可知,线性变换把平面上 的点(或向量)变成点(或向量),那么线性变换把平面上的直线(或线段)变成什 么图形呢? 从几何图形上容易发现,在直角坐标xOy内,关于x轴的(正)投影变换 把垂直于x轴的直线x=a(a为常数)变成点(a,0),把其他的直线变成直线y=0 我们再考察在伸缩变换 02 作用下,直线y=kx+b(其中k,b均为常数)变成了什么图形 由伸缩变换知, 代人直线方程y=kx+b,得=kx2+b,即y=2kx+2b.分别用x,y代替x,y得 ■■17