CHAPTER 洒离中课程标实验教科书数孿(选修42)矩阵与变颇 个变换称为关于直线的投影( projection)变换 . Ps 例3如图1.1-5.在直角坐标系aOy内,过任意一点P作 x轴的垂线,垂足为点P,我们称点P为点P在x轴上的(正) 投影.如果一个变换把直角坐标系内的每一点对应到它在x轴 上的(正)投影,那么称这个变换为关于x轴的(正)投影 变换, 图1.1-5 设在关于x轴的(正)投影变换的作用下,点P(x,y)对应 到点P'(x,y),则 0 如果以直线l 因此,该变换的坐标变换公式为 为x轴建立直角 坐标系xOy,则 所有的投影变换 都可以看成关于 x轴的投影变换 对应的二阶矩阵为 5.切变变换 如图1.1-6,在直角坐标系xOy内,将每一点P(x, y)沿着与x轴平行的方向平移ky个单位变成点P,其中 k是非零常数,称这类变换为平行于x轴的切变( shears 变换 P(+ky,y) 设P( .y). 则 r=rtk, y=y 因此,平行于x轴的切变变换的坐标变换公式为 从而,对应的二阶矩阵为6学2 d-r+ 图L.1-6 01 类似的,平行于y轴的切变变换是指将直角坐标系内的每一点P(x,y)沿着与y轴 平行的方向平移kx个单位(其中k是非零常数)的线性变换.其坐标变换公式为 kr+y 对应的矩阵为 (二)变换、矩阵的相等 我们知道,在直角坐标系xOy内,把每个点绕原点O按逆时针方向旋转2·与把每个 =8
第一讲线性变换与二的矩阵 第坪 点绕原点O按顺时针方向旋转芬的变换效果是一样的.实际上,旋转角是5的旋转变换的 坐标变换公式是 33 rcos yin 2 3r 3x V-.snl t acos 2 即 对应的二阶矩阵是 3sin a 3 3x sIn 2 2 即 10 旋转角是一2的旋转变换的坐标变换公式是 2)-ysn(-2) y=rsin(-2)+cos 即 对应的二阶矩阵是 COS 即 0 因此,这两个旋转变换的坐标变换公式及对应的二阶矩阵是分 别相同的.这时我们称这两个旋转变换相等 变挟与函数 般地,设0,P是同一个直角坐标平面内的两个线性变换.如 类似函数把实 数对应到实数 果对平面内的任意一点P,都有以(P=以P),则称这两个线性变换卖换把点时应 相等,简记为a=p 到 量9晶
CHAPTER 通高中课程标堆实教科书数学(选修42)矩阵与变换 设a,P所对应的二阶矩阵分别为A={°4 ,B= d /·如果a=p.那么它们对 应的系数分别相等,即a=a2,b=b,白=c,d=d2,这时我们也称二阶矩阵A与二阶 矩阵B相等,即 对于两个二阶矩阵A与B,如果它们的对应元素都分别相等,则称矩阵A与矩阵B相 等,记作A=B. 例3设A= p-1-2 B 2 ,且A=B,求p,q 解:由矩阵相等的定义得 l=p-1 y=2 0=q 解得 =0 x=-1, 习题 1.在直角坐标系xOy内,如果把绕原点O按逆时针方向旋转a角的旋特变换 记为R…,试给出下列旋转变换的坐标变换公式以及对应的矩阵 (1)R4; (2) Rso' t (3)R3 2.如果一个几何变换把直角坐标系xOy内任意一点变成这一点关于坐标原点O的对称点, 那么称这个几何变换为关于坐标原点O的反射变换,试求出这个反射变换的变换公式及 其矩阵 3.过直角坐标系xOy内的一点A作一条与x+y=0平行的直线交x轴于点A',则称A'点 为过A点沿着平行于直线x+y=0的方向在x轴上的投影,设一个几何变换把直角坐标 系xOy内的任意一点变成过这一点沿着平行于直线x+y=0的方向在x轴上的授影 试求 (1)点A(2,1)在这个投影变换下的像; (2)这个投影变换的坐标变换公式及其矩阵 4.对于旋转变换R,除了R=R以外,你还能再找出一些与R相等的平面变换吗? 5.设x/2 3 ,且X=Y,求x,y,z 10
一讲线性变换与二阶矩库 算一 6.(1)求直角坐标系xOy内关于直线l:y=2x的投影变换的坐标变换公式及其矩阵; (2)如果直线l为Ax+By=0(其中A、B不全为0),那么关于直线l的投影变换的坐 标变换公式及其矩阵分别是什么? 二二阶矩阵与平面向量的乘法 我们知道,线性变换与二阶矩阵是一一对应的.能否直接用二阶矩阵表示线性变 换呢? 在直角坐标系xOy内,如果规定每个向量都以坐标原点O为起点,那么任何一个向量 OA就由其终点A唯一确定;反之,对直角坐标系xOy内的任意一点A,有唯一的向量O 与之对应,从而,直角坐标系内的向量与点是一一对应的因为平面内的点与有序实数对 是一一对应的,从而平面内的向量与有序实数对也是一一对应的.今后,为了方便,我们 对向量、点以及有序实数对这三者不加区别.例如,我们称点A的坐标(x,y)就是向量 OA的坐标,或直接把向量O叫做向量(x,y) 向量(x,y)是一对有序数组,x,y叫做它的两个分量.我们把这两个分量按照 x在上,y在下的次序写成一列|,这种形式的向量称为列向量.相应的,形如(x y)的向量称为行向量.在本专题中,规定所有的平面向量都写成列向量的形式 为了得到用二阶矩阵表示线性变换的方法,我们先考察上一节例1中得到的旋转角是 30°的旋转变换公式 2y √3 y-2xt2y 上式表明,在旋转变换的作用下,直角坐标系内的向量变成了新的向量 31 23 2 ,我们设想 是二阶矩阵 与向量“相乘”的结果,即如 y 2 2 果引进二阶矩阵与平面向量的乘法,使得乘积为 13y13 2x+2 ■■11圆
CHAPTER 通高中课程标堆实验教科书数学(选修42)矩阵与变 那么旋转角是30的旋转变换的坐标变换公式就可以写成 y 这样就达到了用二阶矩阵 表示旋转角是30的旋转变换公式的目的.即通过 如下的方式唯一地确定了旋转变换Rw: 把任何一个向量变成了新的向量 y √3 因此,二阶矩阵 所对应的旋转变换可写成 22 2 一般地,我们引入下面的定义 定 义设A d,a=,规定二阶矩阵A与向量a的乘积( product)为向量 x+dy/·记为4a或{b1/x ar+by 即 le dly b ax+by c dly lcrtdyl 这样就定义了矩阵/4 与向量的乘法 d 由上述定义可知,二阶矩阵A与平面向量a的乘积仍然是一个平面向量,它的第一个 分量为A的第一行的元素与a的对应位置元素乘积的和,第二个分量为A的第二行的元素 与a的对应位置元素乘积的和 例1设A= 求 01 12](-1 解:Aa= 0113 12自