二、曲线的凹凸性与拐点 定义1.设函数f(x)在区间I上连续，x1,x2∈I, (0若恒有)<)+f) 则称f(x)的 2 图形是凹的： ②)苏恒有生) f)+f),则称fx)的 2 图形是凸的 拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点。 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 A B 定义1 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . 二、曲线的凹凸性与拐点 y O x 2 x 1 x 2 1 2 x x y O x 2 x 1 x 2 1 2 x x 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . y O x 拐点
定理2.（凹凸判定法）设函数f(x)在区间1上有二阶导数 (1)在1内f"(x)>0,则f(x)在I内图形是凹的，/ (2)在I内f"(x)<0,则f(x)在I内图形是凸的 证：V,名∈1，记5=2，利用一阶泰勒公式可得 2 f()=f(5)+s)(-5) 2 f(x2)=f(5)f'(5)(x25) "2(x2-52 两式相加 fx)+fx)=2f(5)+2(,)2L/"(51)+f"(5】 当f”(x)>0时，牛>f(5),说明(1)成立 2 (2) 证毕 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回
目录 上页 下页 返回 结束 定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x f ( ) ( ) 2 f x f 两式相加 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x x [ ( ) ( )] 1 2 f f 当f (x) 0时, 说明 (1) 成立; (2) 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕 , 2 1 2 x x 记 f ( ) ( ) x1 f ( )( ) x2 2! ( ) 2 f 2 2 (x ) 2! ( ) 1 f 2 1 (x ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x f x f ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x