用行阶梯法解此方程得k=k2=k3=0, 所以向量组a2线性无关。 向量组e1=0-00e2=01…00cn=000 称为n维基本单位向量组。仿照例51可以 证明它是线性无关的 定理51向量组a2线性相关的充分 必要条件是至少存在一个向量a(1≤/≤mn≥2) 可由其余向量线性表示。 推论:向量组a2线性相关的充分必要条件 是a1,对应分量成比例
用行阶梯法解此方程得 ， 所以向量组 线性无关。 向量组 称为 维基本单位向量组。仿照例5.1可以 证明它是线性无关的。 定理5.1 向量组 线性相关的充分 必要条件是至少存在一个向量 可由其余向量线性表示。 推论：向量组 线性相关的充分必要条件 是 对应分量成比例。 k1 = k2 = k3 = 0 1 2 3 α , , α α T T T 1 e [1,0, ,0,0] ,e [0,1, ,0,0] , ,e [0,0, ,0,1] = 2 = n = n α1 2 n ,α , ,α (1 , 2) j n n αj a1 a2 , a1 a2
下面不加证明地给出向量组线性相关性的 些结论。 1)若向量组的部分组线性相关,则这个向 量组线性相关;若向量组线性无关,则其 任一部分组线性无关 2)若矩阵A经初等行变换化为B,则A与B 的任何对应的列向量组不仅有相同的线性 相关性,而且有相同的线性组合关系
下面不加证明地给出向量组线性相关性的 一些结论。 1）若向量组的部分组线性相关，则这个向 量组线性相关；若向量组线性无关，则其 任一部分组线性无关。 2）若矩阵A经初等行变换化为B，则A与B 的任何对应的列向量组不仅有相同的线性 相关性，而且有相同的线性组合关系
向量组的线性相关性与对应方程组的解之 间的关系 设有n个m维向量1(2构成的线性方程 组 A X=b m×n (5-1) 其中 A=a1,0 ,x=[xxx,b为m维列向 量,则(5-1)式可写为 b=x01+x2++x0n(52) 从而,线性方程组AX=b有解兮b可由向 量组线性表示。当,2,线性无关时, 可由1,2y,1唯一地用线性表示
向量组的线性相关性与对应方程组的解之 间的关系 设有n个m维向量 构成的线性方程 组 (5-1) 其中 ， ，b为m维列向 量，则（5-1）式可写为 (5-2) 从而，线性方程组 有解 可由向 量组线性表示。当 线性无关时， 可由 唯一地用线性表示。 α1 2 n ,α , ,α A X = b m n A =α1 2 n ,α , ,α x x x 1 2 , , , n T X = 1 2 n x x x b = α1 2 n + α + + α A X = b m n b α1 2 n ,α , ,α α1 2 n ,α , ,α b
5.3矩阵的秩与向量组的秩 定义55在mx矩阵A中任取K行K列 (k≤nk≤m),位于这些行列交叉处的个元 素,不改变它们在矩阵A所处的位置次序而得 到的K阶行列式,称为矩阵A的 矩 阵的A最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的 记为RA)=。显然,RA)=RA) 推论:RA)=r<设是矩阵A的一个非零 阶子式,而A所有产+1阶子式全为零
5.3 矩阵的秩与向量组的秩 定义5.5 在 矩阵A中任取K行K列 ,位于这些行列交叉处的 个元 素，不改变它们在矩阵A所处的位置次序而得 到的K阶行列式，称为矩阵A的K阶子式。矩 阵的A最高阶非零子式 的阶数称为矩阵A的 秩，记为 。显然， 推论： 设 是矩阵 的一个非零 阶子式，而 所有 阶子式全为零。 mn (k n, k m) 2 k r R r ( ) A = R R ( ) ) = T A A （ R r ( ) A = D A r A r +1
例52求矩阵A和B的秩。 2 0 1201-2 0-1305 A=-223 B 00023 000 0 解:在A中,2阶子式 5≠03阶子式只 有一个,即A=0,所以R(A)=2。 B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3 行,知B的所有4阶子式都为零.又 2 10≠0 所以R(B)=3
例5.2 求矩阵 和 的秩。 解： 在 中，2阶子式 3阶子式只 有一个，即 ，所以 。 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3 行，知 的所有4阶子式都为零． 又 所以 A B 2 1 0 2 2 3 4 1 1 = − − A 1 2 0 1 2 0 1 3 0 5 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 − − = B A 5 0, 1 1 2 3 = − − A = 0 R( ) 2 A = B B 0 0 0 2 0 1 0 1 2 1 − R( ) 3 B =