称阝12,…B为矩阵的行向量组,1,2 为矩阵的列向量组。反过来,由有限个可 维数的向量适当排列可构成一个矩阵。 定义52 (1)给定向量组12y(n。对于任何 组+k,个+…+称为 +k 向量组12的 ,k1,k2…,kn 称为这个线性组合的 (2)给定向量组a12及向量。若存 在一组数A,2 使 b=A01+02++(n
称 为矩阵的行向量组， 为矩阵的列向量组。反过来，由有限个同 维数的向量适当排列可构成一个矩阵。 定义5.2 （1） 给定向量组 。对于任何一 组实数 ， 称为 向量组 的一个线性组合， 称为这个线性组合的系数。 （2）给定向量组 及向量。若存 在一组数 ，使 β1 2 m ,β , ,β α1 2 n ,α , ,α α1 2 n ,α , ,α 1 2 , , , n k k k 1 2 n k k k α1 2 n + + + α α α1 2 n ,α , ,α 1 2 , , , n k k k α1 2 n ,α , ,α 1 2 , , , n b = + + + 1 2 α1 2 n α n α
则称向量b=A1+22+…+a可由向量组 线性表示。 定义53设有向量组Aa1a2y,向量组B :B1阝2…,P若向量组A中的每一个向量都可由向 量组B线性表示,则称向量组A可由向量组B线 性表示;若向量组A与向量组B可互为线性表示, 则称向量组A与向量组B等价 定义54给定向量组2,,如果存在不全为零 的数起k,使k1+k2+…+kn=0
则称向量 可由向量组 线性表示。 定义5.3 设有向量组 向量组B 若向量组 A中的每一个向量都可由向 量组B线性表示，则称向量组 A 可由向量组B线 性表示；若向量组A与向量组B 可互为线性表示， 则称向量组A与向量组B等价。 定义5.4 给定向量组 ,如果存在不全为零 的数 ,使 b = + + + 1 2 α1 2 n α n α A:α1 2 s ,α , ,α 1 2 t :β ,β , ,β α1 2 n ,α , ,α 1 2 , , , n k k k 1 2 n k k k α1 2 n + + + = α α 0
则称向量组a,2…线性相关,否则称向 量组a,a2,…,an线 由定义54,若向量组2线性无 关,当且仅当k=k=…=k=0时,才有 ka1+k2a2+…+kn=0成立。 推论:当向量组只有一个向量时,≠0 必线性无关:=0必线性相关。可见,若向 量组中含有零向量,它一定线性相关
则称向量组 线性相关，否则称向 量组 线性无关。 由定义5.4，若向量组 线性无 关，当且仅当 时，才有 成立。 推论：当向量组只有一个向量 时， 必线性无关； 必线性相关。可见，若向 量组中含有零向量，它一定线性相关。 α1 2 n ,α , ,α α1 2 n ,α , ,α α1 2 n ,α , ,α 1 2 0 n k k k = = = = 1 2 n k k k α1 2 n + + + = α α 0 α α 0 α = 0
例5.1判断下列向量组的线性相关性 (1)01= 2)0=12100=2341],13430
例5.1 判断下列向量组的线性相关性 （1） （2） 1,0,1 , 0,1,1 , 2,1,3 T T T = = = 1 2 3 α α α 1 2 3 1,2,1,0 , 2,3,4,1 , 3,4,3,0 T T T α = = = α α
解 (1)因为 2+0-2 21+12+(-1)a3=0+1-1 000 =0 2+1-3 所以这个向量组线性相关 (2)设+k2+k3=0,由向量的加法和 数乘运算可得 2 k1+2k2+3k3=0 2 2k1+3k2+4k3=0 k 1/×,/3 +k 0目 4 3430 k1+4k2+3k3=0 k
解： (1)因为 所以这个向量组线性相关。 (2) 设 ,由向量的加法和 数乘运算可得 2 0 2 0 2 1 ( 1) 0 1 1 0 2 1 3 0 + − + + − = + − = = + − α1 2 3 α α 0 1 1 2 2 3 3 k k k α + + = α α 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2 3 0 2 3 4 2 3 4 0 1 4 3 4 3 0 0 1 0 0 k k k k k k k k k k k k k + + = + + = + + = + + = = 0 即