定理52任何矩阵经过初等变换后其秩不变 证明方法一:用行最简形非零行数作为秩 的定义来证明。第一章已经证明,三种行 初等变换都是等价变换,即经过变换后, 其解不变,其行最简形是唯一的。这就意 味着,它的非零行数目(因此其秩)也是 唯一的,不受行初等变换影响。 证明方法二:用行列式最大非零子式的定 义来证明。先就第三种初等变换来证明定 理
定理5.2 任何矩阵经过初等变换后其秩不变。 证明方法一：用行最简形非零行数作为秩 的定义来证明。第一章已经证明，三种行 初等变换都是等价变换，即经过变换后， 其解不变，其行最简形是唯一的。这就意 味着，它的非零行数目（因此其秩）也是 唯一的，不受行初等变换影响。 证明方法二： 用行列式最大非零子式的定 义来证明。先就第三种初等变换来证明定 理
设矩阵A=(a1)m,R(A)=,矩阵A的第 乘以数k加到第讠行而得到矩阵B,即 12 ait ka ai2 +kai +kc A B 2 要证明B)=。首先证明:(B)≤r。 因为RA)=,故A中所有+1阶子式都 等于零。设D为B中任一r+1阶子式,那么 有三种可能
设矩阵 ， ，矩阵 的第 行 乘以数 加到第 行而得到矩阵 ，即 要证明 。首先证明： 。 因为 ，故 中所有 阶子式都 等于零。设 为 中任一 阶子式，那么 有三种可能。 ( )ij m n a A = R r ( ) A = A j k i B 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in j j jn m m mn a a a a a a A a a a a a a = = B + + + → m m m n j j j n i j i j i n j n n a a a a a a a k a a k a a k a a a a 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 R(B) = r R(B) r R r ( ) A = A r +1 D B r +1
(i)若D不包含A的第行元素,这时D 也是矩阵A的一个r+阶子式,故D=0; (i)若D包含A的第行元素也包含A的 第行元素,由行列式的性质知D=0; (ⅲ)若D包含A的第行元素,但不包含A 的第行元素,这时 D=an+ka…a,+k =D,+kD
（ⅰ）若 不包含 的第 行元素，这时 也是矩阵 的一个 阶子式，故 ; （ⅱ）若 包含 的第 行元素也包含 的 第 行元素，由行列式的性质知 ； （ⅲ）若 包含 的第 行元素，但不包含 的第 行元素，这时 D A i D A r +1 D = 0 D A i A j D = 0 D A i A j + = = + + r r r r i t j t i t j t i t i t j t j t D a k a a k a a a k a k a 1 1 1 1 1 2 = D + kD
其中D是A的一个+1阶子式,所以=0 而D2是由A中某个r+阶子式交换若干行 所得,根据行列式的性质,D与A中某一个 r+阶子式最多相差一个符号,故=0,于 是D=0。这就是说,B中一切+阶子式全 为零,所以R(B)≤F=R(A)。另一方面,我们 对矩阵施行第三种初等行变换:即在B的 第行元素乘以-加到第行对应元素上就 得到A,因此也有A)=≤秩B。于是,我 们证明了秩A)=秩B,即第三种初等行变 换不改变矩阵的秩。 同理可证另两种行初等变换情形
其中 是 的一个 阶子式，所以 。 而 是由 中某个 阶子式交换若干行 所得，根据行列式的性质， 与 中某一个 阶子式最多相差一个符号，故 ，于 是 。这就是说， 中一切 阶子式全 为零，所以 。另一方面，我们 对矩阵 施行第三种初等行变换：即在 的 第 行元素乘以 - 加到第 行对应元素上就 得到 ，因此也有 秩 。于是，我 们证明了秩 秩 ，即第三种初等行变 换不改变矩阵的秩。 同理可证另两种行初等变换情形。 D1 A r +1 D1 = 0 D2 A r +1 D2 A r +1 D2 = 0 D = 0 B r +1 R r R ( ) ( ) B A = B B j k i A R r ( ) A = (B) (A) = (B)
设线性方程组AX=b,A=(a b=[,b2…,bm],R(A)=r。为叙述方便 不妨设其增广矩阵B的行最简形为 0 0 b 01 00 1 b b d B r+1 00 0 00 0 0 00 00 00
设线性方程组 , , , 。为叙述方便， 不妨设其增广矩阵 的行最简形为 A X = b m n ( ) A = aij T b b bm [ , , , ] b = 1 2 R(A) = r B =[A,b] = + + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 , 1 2, 1 2 2 1, 1 1 1 r r r r n r r n r n d b b d b b d 1 0 b b d B