§33R上的可测函数与连续函数 教学目的本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系.本节将 证明重要的 Lusin定理,它表明 Lebesgue可测函数可以用性质较好连续函数 逼近.这个结果在有些情况下是很有用的 本节要点一方面,L可测集上的连续函数是可测的,另一方面, Lusin定 理表明, Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近. Lusin定理有两个等价形 式.另外,作为准备定理的 Tietze扩张定理本身也是一个很有用的结果 在§14我们已经给出了在R”的任意子集上E连续函数的定义这里先看两个例子 例1考虑R上的 Dirichlet函数 若x为有理数 D(x) 0若x为无理数 显然D(x)在R上处处不连续.若用Q表示有理数的全体,则将D(x)限制在Q上所得到的 函数DQ在Q上恒等于1.故D是Q上的连续函数(注意D与D是两个不同的函数 这个例子表明若缩小了函数的定义域,不连续函数可能变成连续函数 例2设F1,…F是R”上的k个互不相交的闭集,F=UF则简单函数 f(x)=∑a1l(x)是F上的连续函数 证明设x0∈F,则存在使得x∈F。由于F,…,F互不相交,故xeUF 由于F是闭集,因此 二a 对任意E>0,当x∈F并且d(x,x0)<6时,必有x∈F,于是 (x)-f(x0)=0< 因此∫(x)在x连续.所以f(x)在F上连续(图3-1)■
82 §3.3 n R 上的可测函数与连续函数 教学目的 本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系. 本节将 证明重要的 Lusin 定理, 它表明 Lebesgue 可测函数可以用性质较好连续函数 逼近. 这个结果在有些情况下是很有用的. 本节要点 一方面, L 可测集上的连续函数是可测的, 另一方面, Lusin 定 理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形 式. 另外, 作为准备定理的 Tietze 扩张定理本身也是一个很有用的结果. 在§1.4 我们已经给出了在 n R 的任意子集上 E 连续函数的定义. 这里先看两个例子. 例 1 考虑 1 R 上的 Dirichlet 函数 = 0 . 1 ( ) 若 为无理数 若 为有理数 x x D x 显然 D(x) 在 1 R 上处处不连续. 若用Q 表示有理数的全体,则将 D(x) 限制在Q 上所得到的 函数 Q D 在Q 上恒等于 1. 故 Q D 是Q 上的连续函数.(注意 D 与 Q D 是两个不同的函数). 这个例子表明若缩小了函数的定义域,不连续函数可能变成连续函数. 例 2 设 F Fk , , 1 " 是 n R 上 的 k 个互不相交的闭集 , ∪ k i F Fi =1 = . 则简单函数 ∑= = k i i F f x a I x i 1 ( ) ( ) 是 F 上的连续函数. 证明 设 , x0 ∈ F 则存在 0i 使得 . 0 0 Fi x ∈ 由于 F Fk , , 1 " 互不相交, 故 ∪ 0 i i Fi x ≠ ∉ . 由于∪ 0 i i Fi ≠ 是闭集, 因此 ( , ) 0. 0 = 0 > ≠ ∪ i i Fi δ d x 对任意ε > 0, 当 x ∈ F 并且 d(x, x0 ) < δ 时, 必有 . 0 Fi x ∈ 于是 ( ) ( ) 0 f x − f x0 = < ε. 因此 f (x) 在 0 x 连续. 所以 f (x) 在 F 上连续(图 3—1). ■
+[ F1 F2 F3 图3-1 定理1设E是R中的 Lebesgue可测集.∫是E上的连续函数连续.则∫是E上 Lebesgue可测函数 证明设a∈R,记E{f<a}={x∈E:f(x)<a},我们证明,存在R中的开集G 使得 E{f<a}=E∩G 事实上,对任意x∈E{∫<a},由于∫(x)<a并且∫在x连续,故存在x的邻域 U(x,61),使得当y∈U(x,6)并且y∈E时,成立f(y)<a.即 E∩U(x,o1)cE{f<a} 令G=∪U(x,6,,则G是开集(2)式表明E∩GcE{f<a另一方面,包含关系 x∈E{f<a E{∫<a}cE∩G是显然的.因此(1)式成立.(1)式表明对任意a∈Rl,E{f<a}是 Lebesgue可测集.因此∫是E上 Lebesgue可测函数■ 定理2( Lusin鲁津)设E是R”上的 Lebesgue可测集,∫是E上ae有限的 Lebesgue可 测函数则对任意δ>0,存在E的闭子集E,使得∫是E。上的连续函数(即f。在E 上连续),并且m(E-E)<6 证明分两步证明(1)先设∫是简单函数即f=∑l5,其中E12….E4是互不相 交的L可测集,E=∪E,由23定理6,对任意给定的δ>0,对每个1=1…,k,存在
83 图 3—1 定理 1 设 E 是 n R 中的 Lebesgue 可测集. f 是 E 上的连续函数连续. 则 f 是 E 上 Lebesgue 可测函数. 证明 设 a ∈ , 1 R 记 E{ f < a} = {x ∈ E : f (x) < a}.我们证明, 存在 n R 中的开集G , 使得 E{ f < a} = E ∩G. (1) 事实上, 对任意 x ∈ E{ f < a}, 由于 f (x) < a 并且 f 在 x 连续, 故存在 x 的邻域 ( , ) x U x δ ,使得当 ( , ) x y ∈U x δ 并且 y ∈ E 时, 成立 f ( y) < a. 即 E U(x, ) E{ f a}. ∩ δ x ⊂ < (2) 令 ( , ), { } ∪x E f a x G U x ∈ < = δ 则G 是开集. (2)式表明 E ∩G ⊂ E{ f < a}. 另一方面, 包含关系 E{ f < a} ⊂ E ∩G 是显然的. 因此(1)式成立. (1)式表明对任意 a ∈ , 1 R E{ f < a} 是 Lebesgue 可测集. 因此 f 是 E 上 Lebesgue 可测函数. ■ 定理 2 (Lusin 鲁津)设 E 是 n R 上的 Lebesgue 可测集, f 是 E 上 a.e.有限的 Lebesgue 可 测函数. 则对任意δ > 0, 存在 E 的闭子集 , Eδ 使得 f 是 Eδ 上的连续函数(即 Eδ f 在 Eδ 上连续), 并且 ( ) δ . m E − Eδ < 证明 分两步证明. (1) 先设 f 是简单函数, 即 , 1 ∑= = k i i Ei f a I 其中 E Ek , , 1 " 是互不相 交的 L 可测集, . 1 ∪ k i E Ei = = 由§2.3 定理 6, 对任意给定的δ > 0, 对每个i = 1,", k, 存在 X Y F1 0 x x0 − δ x0 + δ F2 F3 1 a 2 a a3
E,的闭子集F,使得 m(e-F 6 k i=1…,k. 令E=UF,则E。是E的闭子集并且 m(E-E)=m(U(, -F))smE,-F)<8 由于f1,=∑al,由例2知厂是E上的连续函数 (2)一般情形.设∫是E上的L可测函数不妨设∫是处处有限的若令 (∫ 则g是有界可测函数,并且∫连续当且仅当g连续.故不妨设∫有界.由§3.1推论10,存在 简单函数列{}在E上一致收敛于∫.对任给的δ>0,由已证的情形(1),对每个f存在 E的闭子集F,使得f在F上连续并且m(E-F)<,令E=∩F,则E是E的 闭子集,并且 m(E-E)=m(∪(E-F1))≤∑m(E-F1)<6 由于每个f都在E上连续并且{fk}在E。上一致收敛于∫,因此∫在E。上连续 例3仍考虑例1中的 Dirichlet函数D(x)设Q={1,n2,…}是有理数集.对任意 6>0,令 E=R 则E。是闭集,并且 m(R-EA)=川∪V-2,r"2 F-) 由于E。中不含有理数,因此D(x)在E恒为零.所以D(x)在E8上连续
84 Ei 的闭子集 , Fi 使得 ( ) , i 1, , k. k m Ei − Fi < = " δ 令 , 1 ∪ k i E Fi = δ = 则 Eδ 是 E 的闭子集, 并且 ( ) ( ( )) ( ) . 1 1 − δ = − ≤ ∑ − < δ = = k i i i k i m E E m ∪ Ei Fi m E F 由于 ∑= = k i E i Fi f a I 1 , δ 由例 2 知 f 是 Eδ 上的连续函数. (2) 一般情形. 设 f 是 E 上的 L 可测函数.不妨设 f 是处处有限的.若令 ). 1 , ( 1 g g f f f g − = + = 则 g 是有界可测函数, 并且 f 连续当且仅当 g 连续. 故不妨设 f 有界. 由§3.1推论10, 存在 简单函数列{ }k f 在 E 上一致收敛于 f . 对任给的δ > 0, 由已证的情形(1), 对每个 k f 存在 E 的闭子集 Fk , 使得 k f 在 Fk 上连续,并且 . 2 ( ) k k m E F δ − < 令 , 1 ∩ ∞ = = k Eδ Fk 则 Eδ 是 E 的 闭子集,并且 ( ) ( ( )) ( ) . 1 1 − δ = − ≤ ∑ − < δ ∞ = ∞ = k k k m E E m ∪ E Fk m E F 由于每个 k f 都在 Eδ 上连续并且{ }k f 在 Eδ 上一致收敛于 f , 因此 f 在 Eδ 上连续. ■ 例 3 仍考虑例 1 中的 Dirichlet 函数 D(x). 设 { , , } Q = r1 r2 " 是有理数集. 对任意 δ > 0, 令 ). 2 , 2 ( 1 1 1 1 ∪ ∞ = + + = − − − i i i i i E R r r δ δ δ 则 Eδ 是闭集, 并且 . 2 ) 2 , 2 ( ) 2 , 2 ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 δ δ δ δ δ δ δ ≤ − − = = − = − − ∑ ∑ ∞ = + + ∞ = ∞ = + + i i i i i i i i i i i i m r r m R E m ∪ r r 由于 Eδ 中不含有理数, 因此 D(x) 在 Eδ 恒为零. 所以 D(x) 在 Eδ 上连续
下面我们将给出鲁津定理另一种形式.为此,先作一些准备 引理3若A,BcR"是两个闭集并且A∩B=⑧,a,b∈R,a<b则存在R”上的 个连续函数∫,使得几A=a,fn=b并且a≤f(x)≤bx∈R 证明容易证明,若A是闭集,则d(x,A)作为x的函数在R"上连续,并且 d(x,A)=0当且仅当x∈A(见第一章习题第34题).因此,若令 f(r ad(x, B)+bd(x, A) d(, B)+d(, a 容易验证∫满足所要求的性质■ 定理4( Tietze扩张定理)设F是R"中的闭子集,∫是定义在F上的连续函数.则存在 R”上的连续函数g,使得g=∫,并且supg(x)=sp(x) 证明先设supf=M<+∞0,令 A={-Msf≤-1B,M ≤f≤M} 则A,B是两个闭集并且A∩B=.由引理3,存在R”上的连续函数g1,使得 M 并且 2 f(x)-g1(x)≤M,x∈F 对函数∫-81应用引理3,注意此时-8的上界是否M因此存在R”上的一个连续函 数g2,使得 g2(x)= M.x∈R f(x)-81(x)-g2|s2M M、x∈F. 这样一直作下去,得到R上的一列连续函数{gk},使得 M,x∈R",k=1,2,…, (4) (x)-2(x)=1|3M,x∈F,k=12
85 下面我们将给出鲁津定理另一种形式. 为此, 先作一些准备. 引理 3 若 A, B ⊂ n R 是两个闭集并且 A∩ B = ∅, a,b ∈ , 1 R a < b.则存在 n R 上的 一个连续函数 f , 使得 f a, A = f b B = 并且 a ≤ f (x) ≤ b, x ∈ n R . 证 明 容易证明 , 若 A 是闭集 , 则 d(x, A) 作 为 x 的函数在 n R 上连续 , 并 且 d(x, A) = 0 当且仅当 x ∈ A(见第一章习题第 34 题). 因此, 若令 . ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) d x B d x A ad x B bd x A f x + + = 容易验证 f 满足所要求的性质.■ 定理 4 (Tietze 扩张定理)设 F 是 n R 中的闭子集, f 是定义在 F 上的连续函数. 则存在 n R 上的连续函数 g, 使得 g f , F = 并且sup g(x) sup f (x) . x R x F ∈ n ∈ = 证明 先设sup = < +∞. ∈ f M x F 令 }, 3 { M A = −M ≤ f ≤ − }. 3 { f M M B = ≤ ≤ 则 A, B 是两个闭集并且 A ∩ B = ∅. 由引理 3, 存在 n R 上的连续函数 , 1 g 使得 , 3 1 M g A = − . 3 1 M g B = 并且 ≤ x ∈ M g x , 3 ( ) 1 . n R , . 3 2 ( ) ( ) f x − g1 x ≤ M x ∈ F 对函数 1 f − g 应用引理 3, 注意此时 f − g 的上界是 . 3 2 M 因此存在 n R 上的一个连续函 数 2 g , 使得 g x ≤ ⋅ M , x ∈ 3 2 3 1 ( ) 2 . n R , . 3 2 3 2 3 2 ( ) ( ) 2 f x g1 x g2 M M x ∈ F − − ≤ ⋅ = 这样一直作下去, 得到 n R 上的一列连续函数{ }, gk 使得 ∈ ≤ ⋅ − g x M x k k , 3 2 3 1 ( ) 1 , n R k = 1,2,", (4) , , 3 2 ( ) ( ) 1 f x g x M x F k k i i ∈ −∑ ≤ = k = 1,2,". (5)
由(4知道级数∑g4(x)在R”上一致收敛记其和为g(x),则g(x)是R"上的连续函数 而(5)表明在F上g(x)=f(x).并且 ()s∑(x)s3∑ x∈ 因此当∫有界时,定理的结论成立 若f(x)无界,令以(x)=tg/(x),则(x)≤由上面所证,存在R上的连续函 数v,使得=0.令g(x)=tgv(x).则g是R上的连续函数并且g=f 定理5( Lusin鲁津)设E是R"上的 Lebesgue可测集,∫是E上ae有限的 Lebesgue 可测函数.则对任意d>0,存在R上的连续函数g,使得 m({x∈E:f(x)≠g(x)})<d 并且supg(x) supl/(x) 证明由定理2,对任意δ>0,存在E的闭子集F,使得∫在F上连续并且 m(E-F)<d.由定理4,存在R”上的连续函数g,使得当x∈F时,g(x)=f(x)并且 g(x)=supf(x)≤sup(x) 由于{x∈E:f(x)≠g(x)}cE-F.因此 m({x∈E:f(x)≠g(x)})≤m(E-F)<d 思考题在直线上的情形,用直线上开集的构造定理给出定理5的另一证明 小结本节考察了欧氏空间上的可测函数和连续函数关系本节的主要结果是 Lusin 定理(有两个等价形式). Lusin定理表明, Lebesgue可测函数可以用连续函数在某种意义下逼 近.由于连续函数的具有较好的性质,比较容易处理,因此这个结果在有些情况下是很有用 的.本节还证明了 Tietze扩张定理,它也是一个很有用的结果 习题习题三,第29题一第31题
86 由(4)知道级数 ∑ ∞ =1 ( ) k k g x 在 n R 上一致收敛. 记其和为 g(x), 则 g(x) 是 n R 上的连续函数. 而(5)表明在 F 上 g(x) = f (x). 并且 , 3 2 3 ( ) ( ) 1 1 1 M M g x g x k k k k = ≤ ∑ ≤ ∑ ∞ = − ∞ = x ∈ . n R 因此当 f 有界时, 定理的结论成立. 若 f (x) 无界, 令 ( ) tg ( ), 1 x f x − ϕ = 则 ϕ(x) ≤ . 2 π 由上面所证, 存在 n R 上的连续函 数ψ, 使得ψ = ϕ. F 令 g(x) = tgψ(x) . 则 g 是 n R 上的连续函数并且 g f . F = ■ 定理 5 (Lusin 鲁津) 设 E 是 n R 上的 Lebesgue 可测集, f 是 E 上 a.e.有限的 Lebesgue 可测函数. 则对任意δ > 0, 存在 n R 上的连续函数 g ,使得 m({x ∈ E : f (x) ≠ g(x)}) < δ . 并且sup g(x) sup f (x) . x R x E ∈ n ∈ ≤ 证明 由定理 2, 对任意 δ > 0, 存在 E 的闭子集 F , 使得 f 在 F 上连续并且 m(E − F) < δ . 由定理 4, 存在 n R 上的连续函数 g, 使得当 x ∈ F 时, g(x) = f (x).并且 sup g(x) sup f (x) sup f (x) . x R x F x E ∈ n ∈ ∈ = ≤ 由于{x ∈ E : f (x) ≠ g(x)} ⊂ E − F. 因此 m({x ∈ E : f (x) ≠ g(x)}) ≤ m(E − F) < δ . ■ 思考题: 在直线上的情形, 用直线上开集的构造定理给出定理 5 的另一证明. 小 结 本节考察了欧氏空间上的可测函数和连续函数关系.本节的主要结果是 Lusin 定理(有两个等价形式). Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数在某种意义下逼 近. 由于连续函数的具有较好的性质, 比较容易处理, 因此这个结果在有些情况下是很有用 的. 本节还证明了 Tietze 扩张定理, 它也是一个很有用的结果. 习 题 习题三, 第 29 题—第 31 题