《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章 函数、极限和连续

第26页六、重要恒等式与重要不等式logax*=x,(a>0,a±l;x>0)aarcsin x +arccos x = arctan x +arccot x = 恒等式sin(arcsin y)=y, ye[-1,1]arcsin(sinx)=X, xe[-号,]三角不等式：a-bl≤a-b≤al+bl;均值不等式：对任意n个正实数a,a2...an有nIna,≤/aII<<a;27n i=ln i=li1算术平均调和平均几何平均均方平均=a当且仅当a=a2=..=an时等号成立

第 26 页 六、重要恒等式与重要不等式       log 2 2 2 , ( 0 1; 0) arcsin arccos arctan arccot sin arcsin , 1,1 arcsin sin , , a x a xa a x xxxx y yy x xx                        , a b ab a b    ; 1 2 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n i ii i i i i i n a aa n n a                 三角不等式: 均值不等式: 对任意 n个正实数 a 1,a 2,., an 有 当且仅当 a 1 = a 2 = . = an 时等号成立. 恒等式 调和平均 几何平均 算术平均 均方平均

第27页七、本节例题2x,其中x≠0,1,求x)例1.1.1设f(x)x解 令u=-l代入原方程得x1-ux2将u换成x后与原方程相加得1-u2x:2 f(x)+(1)1-xXX11u-1 x-1再令并代入(1)得u得x1-x1-uux2(u-1)u-112f+2uuu

第 27 页 七、本节例题 例1.1.1 设 ,其中 x ≠0,1, 求f(x). 1 () 2 x f xf x x          x 1 u x   1 2 ( ) 1 1 f fu u u           11 2 2 () 2 (1 1 1 ) x fx f f x xxx                 解 令 代入原方程得 将 u换成x后与原方程相加得 再令 得 并代入(1) 得 1 1 11 , 1 1 u x u x x ux u       1 1 x u      1 1 2 1   2 2 1 u u f fu f u u uu            

第28页将u换成x得22x.... (2)xx-2x相减得(2)与原方程 f(x)+x2(x -1)·(3)x22(x -1)2x +(1)减(3)得 2 f(x)+1- xx11,(x±0, 1)化简得 f(x)=x+-1-xx

第 28 页 1 () 2 x f x f x x          (1) 减(3) 得 2( 1) 2 2 () 2 1 x fx x x x       1 1 ( ) 1, 0,1 1 fx x x x x     1 1 2( 1) 1 (3) x x f f x xx                (2)与原方程 相减得 化简得 将 u 换成 x 得   1 1 2 1   2 2 (2) 1 x x f fx f x x xx             

第29页/2x-x22x-1的定义域例1.1.2求函数y=arcsin7ln(2x -1)2x-1-3≤x≤4≤1-6≤2x≤870≤x≤2x(x-2)≤0解2x-x2≥0I1U2x>1x>2x-1>02x±12x-1±1[x±11<x<1→ D=(,1)U(1,2)U21<x≤2

第 29 页 例1.1.2 求函数 的定义域 2 2 1 1 7 2 0 2 10 2 11 x x x x x                     1 2   D ,1 1,2 1 1 2 1 2 x x           解 62 8 ( 2) 0 2 1 1 x x x x x                3 4 0 2 1 2 1 x x x x                2 21 2 arcsin 7 ln(2 1) x x x y x     

第30页1判别 f(x)(a>0,a1)的奇偶性例1.1.3-12a11α*+1解 f(-x)=22(1-α)a-x-12故f(x)为奇函数0<a<1a>1

第 30 页 例1.1.3 判别 ,( a >0, a ≠1)的奇偶性 1 1 ( ) 1 2 x f x a      1 2(1 ) x x a a    故 f (x )为奇函数. 1 1 1 2 x a          解   f ( ) x 1 1 ( ) 1 2 x f x a    0 1  a  a  1