第一章 函数与极限 高等数学少学时 sina-sin B=2cos a+B. a-B sin 2 2 例3证明函数.f(x)=sinx在(-oo,+oo)内是连续的 证x∈(o,+∞ )△y=sin(x+△x)-sinx y=+Ar-sn时=2当a+当sd △x x≠0，小sinx<x, 0say<2.Aa :.由夹逼定理，有im△y=0 Λx→0 ∴.f(x)=sinx在(-oo,+oo)内是连续的 类似地，可证函数f(x)=cosx在(-oo,+o)内是连续的 北京邮电大学出版社 6
6 证 x (− ,+ ), y = sin( x + x) − sin x | | 2 | | 0 y 2 x x = f (x) = sin x在 (− ,+ )内是连续的. y = sin( x + x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x + = lim 0 0 = → y x 由夹逼定理，有 例 3 2 2sin x x x x 0 sin , ， 证明函数 f (x) = sin x 在 (− ,+ )内是连续的. 类似地， 可证函数 f (x) = cos x 在 (− ,+ )内是连续的. 2 sin 2 sin sin 2cos + − − =
第一章 函数与极限 高等数学少学时 二、函数的间断点 如果f(x在点x的某一去心邻域有定义如果f(x有下列 三种情形之一： (1①)函数f(x)在x=七。处无定义 (2)f(x)在x=x有定义，但极限imf(x)不存在； x→x0 (3)f(x)在=x有定义，但极限imf(x)≠f(x)片 则称x是f(x的不连续点或间断点 北京邮电大学出版社
7 二、函数的间断点 如 果f (x)在 点x0的某一去心邻域有定义,如 果f (x)有下列 (2) ( )在 有定义，但极限lim ( )不存在； 0 f x x x0 f x x→x = (1) ( ) ; 函数f x 在 x = x0 处无定义 ( ) . 则称x0 是f x 的不连续点或间断点 三种情形之一： (3) ( )在 0有定义，但极限lim ( ) ( 0 )； 0 f x x x f x f x x x = →