三、柯西中值定理 f(x)及F(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上连续 何西。AL (2)在开区间(a,b)内都可导 (3)在开区间(a,b)内F'(x)≠0 至少存在一点5∈(a,b),使 f(b)-f(a)_f'(5) F(b)-F(aF'(5) 分析：F(b)-F(a=F'()(b-a≠0 a<7<b 问题转化为证 f(b)-f(a F(b)-F(a) F'(5)-f"(5)=0 p'(5) 构造辅助函数 p(x)= f(b)-f(@)F(x)-f(x) F(b)-F(a) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 柯西 目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、柯西中值定理 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a ( ) 分析: 及 (1) 在闭区间 [ a , b ] 上都连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内都可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点 使 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a 满足 : F(b) F(a) F()(b a) 0 a b 问题转化为证 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x f x F b F a f b f a x 柯西 构造辅助函数
证：作辅助函数p(x)= f(b)-f(a) (x)-f(x) F(b)-F(a) 则o(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 p(a)= f(b)F(a)-f(a)F(b) =o(b) F(b)-F(a) 由罗尔定理知，至少存在一点5∈(a,b),使p'(5)=0,即 f(b)-f(a）=f'(5) F(b)-F(a）F'(5) 思考：柯西定理的下述证法对吗？ .'f(b)-f(a=f'(5)(b-a,5∈(a,b) 两个5不 F(b)-F(a=F'(5(b-a),5∈(a,b) 一定相同 上面两式相比即得结论. 错！ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回
目录 上页 下页 返回 结束 证: 作辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x f x F b F a f b f a x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b F b F a f b F a f a F b a 则(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 且 由罗尔定理知, 至少存在一点 使 即 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ()(b a), (a, b) F(b) F(a) F()(b a), (a, b) 两个 不 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!