但是如果壁上的电位并没有受约束以很平滑地拟合由分离变提所获得的解。邢么我们如与来描述电场呢？例如，假设要求在矩形横截面的相同区域中的电场，但在！=6处的一个电极受约束于与无关的电位。现在，这一构型示于图.5.2中解决的方法是假设具有式（1）形式的解有无穷多个，它们在四个壁的三个壁上满足边界条件。叠加原理清楚地表明，这些解的任何线性组合也忌一个解，所以如果我们令A，为任意系数，则一个更一般的解为D-Anginhnysin (3)注意所给定的值使正弦函数a的平面为零，现在，我们如何调整系数值使在9=处被激励电极的边界条得以满？一个我们不一定采用的方法，是建议用 4.8节中所描速的数值方法。可把这个电极分成N段，并在每一段的中点计算式(3)的值。如果无穷级数在N项处截止，结果就是N个未知数A.的N个线性方程。这个方程组可转化为确定A,的方程。将这些系数A代人式(3)，就构成了个边值问题的解。遗撼的是，要达到合理的精度，需要很大的N值，并且需要一台计算机，分离变量法的作用楚它得到的各个解在某种意义上是正交的，也就有可能确切地求出系数Aa。求这些系数的值是非常简单的，首先，在已知电价的也设衰而计算式(3)的值@(n,b)-ZAsinh nb sin BE(4)上式右边是带有系数待定的正弦函数的无穷级数。左边是一个给定的的函数。我们肥表达式的两边乘以sin（mza/a),其中m是一个整数。然后将表达式两边沿系统的宽度积分。J'(,D)sin ada-Aaiah bsinsindr(5)函数 sin(n元a/a)和函致 sin(mra/a)，除了m=n之外，在它们的乘积在给定区间的积分为零的意义上是正交的。0,ntm['sinmEasinnr(6)因此，除了#=m这一项外，式(5)边所有项都为零，当然，m可以为任意整数，所以我们能乐出式(5)中第m项的幅值，然后川代替m得'b(a,b) sin nE rdrAn--(7)gsinh-给定9=b平面上的任意电位分布，我们就能求出此识分，因而系数出就确定了。在这一特定问避中，电极表作一点的电位都为。周此，可计算（7)给出-120
n为偶数0_20(t)(1-csnm)A(8)n为裔数sinh(n10Tsinh(nab))4最后，把这些系数代人式（3)，给出所求电位sinh(nzy)0=24(t)1(9)sinh(nnb办这一无穷级数中的每一个乘积项，都满足拉普拉斯方程和包围我们所关心区域的表面中的三个面上的零电位条件。其总和满足“最后”边界上的电位条件。注意其总和自身在形式上并不是一个只是的丽数和一个只是的函数的乘积模态展开式，对于在“最后”那个边界上具有任意电位分布情况，都是适用的。但如果在包围所讨论区域的所有四个面上都具有任意的电位分布，情况会怎么样昵?叠加原理证明，用这里所说明的四个形式解的总和是正确的。加到已经求出的级数解上的是另外三个类似于以上已求出的级数解，只是每个转过90°角度。因为这四个级数中的每一个都只有在该级数所适用的部分边界上具有有限的电位，所以这四个级数的总和满足所有的边界条件。由式(9)给定的电位画在图5.5.3中。在此三维图形中，很清楚地看到变激励的电极与接地的璧相交的拐角处电场为无穷大。因为电场从受激励的电极发出的地方，就会有面电荷，所以在这些拐角处，面电荷密度为无穷大，当然，在实际倩况下，由于间距并不是无穷小，所以电场也不是无穷大。图5.5.3图5.5.2的构型的电位与电场线，用垂直坐标表示电位且显示在2-1平面中的（9)式。演示5.5.1电容衰减器因为本幸的电场定律中没右个涉及时间的导数，断以已求得的电场对于时间的任意函数=(t）是正确的。作为结论，系数4，也是时间函数。于是在箱子壁上感应的电荷是随时问变化的，可通处把一0处的与接地的侧面壁绝缘，并通过一电阻与地相连看出。图5.5.4表示这一构型的横截面图。电阻R足够小，使电位121
与相比很小。在输出电极上所感应的电荷可通过应用高斯积分定律困这个电极的积分表面求出。电极在毫方向的宽度为 0,因此1=f,Eda=o,E,(z, 0) da=-o(2,0)da (10)这一表达式可利用式(9)计算Cw(11)q=-0mP;台nsinh()电荷守恒定律要求通过电鼠的电流是电荷对时间的变化率。于是，输出电压为dg-RO-dd(12)如-ginot，那么图5.5.4槽的照部被一通过低电阻与地相(13）违的绝综的也极取代,使能测出感应电流。.-RO.oVcoscot=V.coso图5.5.5中所示的实验是用来演示输出电压对输入电极和输出电极的同距5的依赖关系的。根据式（13）和(11),这个电压可写成归一化形式-7U=16.toRy(14) 2nsin h (nt))因此,归一化电压的自然对数与电压间距有如图 5. 5. 5 所示的关系。注意，随着 b/α 的增大,函数很快成为-条直线。在b/α 很大的极限下,双曲线正弦函数可以用 exp(nib/a)/2 来近似，并且级数可以用一项来近似。于是，输出电压与电极间距的关系简化为1n()1元一(15)并且曲线的渐近线的斜率光O音nM2IOL示波器2图 5.5. 5 电准静态衰减器的演示,实验中测得的归一给出电压是一人和输出电极间的距离的函数。归一化电压U由式(14)定义。输出电极通过与绝缘棘缚住来定位。在实验中，一个金属益益着箱子的侧边。122
在输人电极上感应的电荷无论在箱子的警上或是在输出电极上都有它们的镜像。如果5很小，几乎所有的这些镜像电荷都在输出电极上，但是随着b/a的增大，越来越多的镜像电荷出现在四周的骤上，而输出电极上的镜像电荷就不多了。回顾一下，有好几件事值得进一步讨论。首先，作为本节起点的也位式(1)，是表5.4.1中四个公式中的一个。应该用怎样的步骤去选择适当的公式?通常，满足前三个面上零电位边界条件的解是这四个可能解的线性组合。因此,如果用 A表示待求系数，解的一般形式为D-Aicoshrcoshky : Azcoshrsinhky(16)-Agsinkacoshhy-Arsinkrsinhky形式上，是通过消除这四个系数中的三个来选定式(1)的。头两个系数必须为零，因为函数在=0处必须为零。第三个被排除是因为在=0处电位必须为零。因此，我们只能得到最后一项，如果A,=A,这一项就是式（1)。有条理地消除这些解是必需的。因为坐标的原点是任意的，要建立一个简单的电位表达式就是要通过适当地选择坐标的原点以便尽可能多地消除式(16)中的解。我们有目的地选择坐标原点以使式(16)的四项解中的一项满足在：-0和=0处的边界条件。从列的乘积解中进行选择，应该和坐标的选择相互照应。某些结合比另一些结合更为简便。在本章和下一中将通过例子来说明本节的余留部分用于比较详细地讨论由式（9)表示的正弦波展开式。在=b平面中，电位分布的形式为(a,b)-Vasin(17)其中确定系数的过程已经导出式(8),此处依据式(17)的系数V，写成r0,n为偶数(18)n为奇数81在激励电极全长的范围内，电位是均勾的，它的逼近情况示于图5.5.6。方程（17）表示一个周期为 2a 的方波，延伸到整个变化范围，一0o<<+0。半个周期的图形如图中所示。单独用正弦波的形式表示这种分布是可能的，因为它是的奇函数。通常，一个周期函数用包含正弦和余弦二者的傅里叶级数来表示。在现在的情况下，余弦项消失了，因为电位在0和=α处必须为零。傅里叶级数的研究表明，当级数为无穷多项的极限的意义上，级数收效于真实函数。J,(r)-(r)dr=0(19)式中@()是实际的电位分布，而F()是傅里叶级数逼近值。为了明白这里示例的方法的普遍性，我们根据微分方程和边界条件证明函数X(）的正交性。因此，在其他坐标系中的解也具有正交性就不必惊奇了。在任何情况下，正交性是与一个乘积解中的任何一个因子相关的。对于这里讨论的笛卡儿坐·123
图5.5.6由式（17)）和（18）给出的傅里叶级数去逼近方波，图中依次示出了用一项二项和三项的图形。 离阶项趋于填充在 -0 和=α 处的明显不洋续性。 在所讨论的区域之外，这个级数衣示一个周班长度为20的奇函数。标，在空间的两个点上满足边界条件的是X(r)。这是通过调整本征值磊,三n元/α 使本征函数或模 sin (nrx /a)在 a=0 和 z=α 处为零来实现的。这个函数满足式(5. 4. 4)和边界条件些产+Xx=0; Xa=0 在#=0,4(20)下标m是用来承认这个问题有无穷多的解。另外一个解，如说第n个，也必须满足这个方程和边界条件。+赔X=0; X,=0在#=0,a(21)在求级数展开式的系数中利用的这些模的正交性是IxX,dr=0,ntm(22)为了一般地证明这个条件，我们用又，乘式(20)，然后在施加边界条件的两点之间进行积分I x.() da+ .Xdz=o(23)通过使=X，和α=dXa/da，第-项通过分部积分得到Tx()-x-ds(24)出于边界条件，右边的第一项为零。因此，式(23)成为['dX- dX-ds+ u ['xx X.d m0(25)-dd如果把 n 和m互换,经过以上相同的步骤其结果和式(25)一样,只是 n 和m五换了位置。因为式(25)中的第项与第二个这样的方程中的对应项是相同的，把这两个公式根减得到(-n)'xmxde 0(28)· 124