因此，只要卡，两个函数是正交的。对这个特定的问题，本征函数效是Xsin（nn/u，而本征值是%gn元/a。但是在一般情况下，我们能预期拉普拉斯方程的乘积解在其他垒标系小特为一组具有类似正交性的函数。5.6带有边界条件的泊松方程的解在5.1节中已概括地阐述了被已知电位的表面所限定的区域中求解泊松方程的方法。电位可分成特解和齐次解两部分其特解部分的拉普拉新在整个讨论的区域中等于一p/e。齐次解使两部分电位的总和满足边界条件。简言之(1)=n(2)Vo,n-e20(3)VOn0非丑在封闭面上Φ=p-@,在8上(4)以下例子说明了这种方法。同时这些例子也表期了拉普拉斯方程的笛卡儿座标解的运用以及所描述的电场可以是时变的概念。0例5.6.1等位面间空间电荷行波的电场潜利1=方向延伸到无穷远处的一个二维系统的截面图，示于图 6.6.1，位于=a和=—a平面的两导体限定了讨论的区域。在这两个平面之间，电荷密度沿2方向是周期变化的，丑在9方向是均勾分布的。(5)p= P cos βz参数P。和β是给定的骨数。现在，在下面电极中通过方向是周期性变化电位为图5.6电阻器接地的那一设可以召作与一α平面中的共众西企属板界定的电荷层的战上画图，当这个电荷向右平移时，用一一个厢部分电极和=“平面中的极具有相同的零电位。首离电极嵌在下面等位面中以检测其运动先我们求电场的分布。记着，式(2)的任何特解都行。因为电荷密度与9无关，因此寻我一个民有同样性质的特解是很自然的。于是，式（2)的左边是的二阶导数，因此把方程积分两次，可衍OpPcospr(6)这个特解是和"无关的。注意，这不是在两接地平板问通过对电荷计算重叠积分将要得到的电位。从整个空间否，电荐分布不是与9无关的。事实上，式（6)的也位是与式(5）给出的在+9和一方尚延伸到无穷远处的电荷分布关联的代(6)不溺足延界条件的亦实，必须由齐淡解来弥补。那就是在边界上，式(1)中@=0，所以齐次解和特解在边界上必须抵消。Po-cosB()Plsa-Ppl于是，我们来寻求满足这些边界条件的拉普拉斯方程式(3)的解。因为在两个边界上电位具有同样的值，并且轴的原点已选定在两个电秘中同，显然，自位一定忌的偶菌效。而且，它在方向一定有一个与式(7)）乐·125
周期。因此,在表 5.4.1 的中间一列的拉普拉斯方程在笛卡儿坐标系的解中,，=β,sin kz 项都被消除了，以支持解谷 cos kr。 并且选用了 coshay 的解,因为它是 y 的偶函数。(8)@-AcoshBycos现在把式(8)代人式(7),调整系数4使边界条件得以满足。(9)Acoshpacospz=-Po,cosr-a-.p.coshpa把特解式(7),与通过把式(9)的系数代人式(8)后给出的齐次解相登加,可得到所求的电位分布@-p(1-oshpa)cospr(10)在导出式(10）时所用到的数学解在图 5.6.2中说明。特解描述发源于正电衔密度区域而终止于负电药密度区域的电场。它完全是沿“方向的，所以与等位边界面相切。漆加到这一电场上的齐次解完全是由面电荷产生的。这些面电荷引起一个反对璧上的切向场的电场，使它们成为等位面。因此，两个解之和（也表示在图中）满足高斯定律和边界条件。和电场线，用图解表示待解和齐次解两部分的叠加得到所需的电位图5.6.2图结构的等如果我们已经把场的静态图最牢记在心，假设电荷分布以速度？沿“方向移动。Pcos(-t)(11)式(5)中变量2已经用么一 代替。在这一运动的电荷分布情况下，电场也是运动的。于是，式(10)成为-(1oh)oβ(r-t)(12)要注意，现在齐次解是表5.4.1中中间一列的第一和第三个解的线性组合。当空间电荷波在移近时，在完纯导电璧上感应的电荷同步地跟着向前。如果壁的一段与共余部分是绝缘的,并通过一电阻与地相连,如图 5.6.1 所示,就可以检测到伴随着表面电荷重新分布产生的电流。在电阻足够小致使这一段基本上保持零电位的假设下，输出电压%为多！通过电阻器的电流可以援引这段壁上的电荷守，去求这段极板上的净电荷的时间变化率而得。根据商斯积分定律和式(12),这段暨上的净电荷为go f oEsl-dz-gtanhBo[sin β(-0t)+sin (+u)(13)由此得出空阅电荷行波的动态特丝反映在测得的电压gotanhBasinPsinBotw,=--Rd4--2Ra(14)· 126: