n.(E*-eEb) -0.(2)因为在任何情况下，电磁感应对法拉第连续性条件都没有影响，所以这些条件与一般电动力学定律中的条件是相同的。作为提示，包围着法拉第定律在其上进行积分(1.6节)以求得式(1)的积分表面的周线，示于图5.3.1a中。根据高斯定律（1.3节）以求得式(2)所用的积分体积同样示于图5.3.1b中。图5.3.1（a）与承载面电荷密度的表面相交的微分周线。（b）包围在法线为n表面上面电荷的微分体积。电位的连续性条件是什么呢？横跨过一个不连续的面，即使在那个面上带有面电荷密度的情况下，电位中也是连续的。当场强E是有限时（包含一个无穷大的电场的偶极子层会引起电位的跃变）将是这样一种情况，因为，那时路径长度为无穷小，电场从表面一边到另一边的线积分为零。p*@h=0(3)为了确定描述高斯定律通过不连续面的跳跃条件，我们对图5.3.1b所示的与不连续面相交的休积进行了积分(1. 3 节)。对所得到的连续性条件式(2)，考虑到在 EQS 的近似法中 E=一的关系，写成用电位表示的形式(4)n[(vd)*-(vo)"]=--T在带有面电荷密度的突变面上，电位的法向导数是不连续的。如果连续性条件用来描述在体积中成立的那些定律所隐含的条件之外的物理约束，它就成为边界条件。一个熟悉的例子是电位受约束的电极表面处。因此，连续性条件、式(3),要求在邻近于电极的体积中的电位应该是给定的电极电位。如果没有援引在体积分形式的定律中不表示的关于电极的物理特性的信息（例如，它们是“无限导电的")，就不能证明这-一陈述是正确的，因此，也就不是连续性条件所固有的。5.4笛卡儿坐标系中拉普拉斯方程的解我们已经研究了泊松方程解的一些普遍特性，现在来讨论受边界条件约束的拉普拉斯方程求解的特殊方法是拾当的。这节和下一节将举例说明在描述EQS场时经常采用的三个标准步骤。首先，在边界面就是坐标面的坐标系统中建立拉普拉斯方程。然后，把偏微分方程通过变量分离化简为一组常微分方程。用这一方法产生了无数组的解。最后，通过附加上由变量分离·115
所求出的留使边界条件得以满足。在本节中，如果规定的边界条件是沿着某一笛卡儿然标系的坐标面，那么求出的为自然解。假设电场仪与二维坐标和9有关，那么拉普拉斯方程是（表I)30+=0一种历史悠久的数学方法是将这一个新问题简化这是一个具有两个自变量的偏微分方程。成一个以前解决了的问题，这里求解偏微分方程的过程就简化为对常微分方程求解的过程。这是用分离变量法完成的。它由具有特定的对空间依从关系的慢设解所组成。D(r,) =X(r)Y(y)(2)在式(2)中，假设X只是的函数,Y只是？的函数。如果需要的话，那么一个普追的空间依赖关系可通过这些特殊解的叠加而重新恢复。把式(2)代人式(1),并除以Φ给出dex(a)Y(u)(3)X(a)drY(u)d这里用了全导数符号是因为函数和根据定义分别只是和的函数。现在，在式(8)中左边只有的函数,而右边只有?的函数。只有当每个表达式都为常数时，方程与α和无关的条件才能够满足。我们用定义这个“分离”常数，由此可得-x(4)和-y(5)这些方程的解为X~coskr(6)或sinka(7)Y-coshhy或sinhhy如果=0,这些解答就简化为(8)X~常数或2Y~常数(9)或乘积解即式(2)，汇总在表5.4.1的前4行中。花右边一列中的解只是将中间一列的解的？表5.4.1拉善拉斯方操的二维笛卡儿解h0k=0"<0(→j8)带数coskreoshkycoshl'acosk'ycoskasinhkyr,Rsinrahisinka sinhtysinht'wsink'y'seocoshre*"e-*cost'yinkset:er'ssink'gye-vrsink'ssinkze-:116
和y相互交换后的结果。一般来说，在写这些解时，我们将把上的撤号去掉。对于式（7），解也可能是指数。这些有时更为方便的解，汇总在表的后4行中。汇总在此表中的解答可用来深入了解EQS场的性质，因此，如果电场是具体的，就作了很好的准备。在表5.4.1的左边的一列中用电位描述的电场都是很熟悉的。那些与和?成线性关系的电场分别代表了在和g方向的均匀电场。电位已从图4.1.3中熟悉。我们将用类似的规则表示第二列的电位，但是把图4.1.4巾举例说明的电位3的三维图形记住也是有帮助的。在以下更为复杂的电场图形中，场图就将形象化为含正电位的峰值和负电位的谷值的这样的等电位线图。在图5.4.1的顶部和左边分别画出了函数coska和coshng，它们的乘积是表5.4.1的中间一例电位中的第-·个。如果我们从原点出发沿十方向或一！方向（北或南），我们就好象是在攀登一座电位山。如果我们沿十或一方向（东或西）行避，我们就好象是在下山。在原点北面的电位山上一条更东边的路径相应于coska因子的减小。如沿一条相等高度的路径，那么coshy因子必须增加，因而，这意味着这条路径必须转向北面。OS图5.4.1@等位线和场，分离因子无先边oskrtenshk分周装示在！117
作这些场图的一个良好的起始点是确定零电位的等位线。在图5.4.2所示的表5.4.1的中间一列的第二个电位的图形中，零电位线是轴和直线zz=+元/2，+3元/2等。现在与3的关系是奇函数而不是如图5.4.1中所示图形那样的偶函数。因此，现在原点是在电位山的从北到南往下倾斜一边。b13.摩位线和场线。为了有助于使电位形象离因子cos和inh分码表示在顶部和左第二列的第三，四行中的解具有与刚刚讨论过的解答相同的场图，只要那些图形分别在方向作些移动。 表 5. . 1 的最后 4 行是 4 个另外的可能的解，它们是那一列中前 4 行解答的线性组合。因为它们在十或一方向以指数规律衰减，所以对于描述所研究的无限大半空间问题的解是有用的。表5.4.1的解在整个2-平面都是非奇异的。这意味着在有限的-平面内处处满足拉拉斯方程，因此，电场线是连续的；他们并不会置出来或消失。这些图显示出当向着！的正或，负方向推进时，电场变得越来越强。电场线起始于正电荷，终止于负电荷，它们都位于3→±。处。因此，对图5.4.1和 5.4.2 所示的图形,在无限远处的电荷分布必须由无限大的正、负电荷的交替分布组成。118 :
最后两段话用作进一步扩大对拉普拉斯方程解的性质的了解。肯先，第三维可用于以图4.1.4的方法来表示电位，使得电位表面具有从边界铺设的一张薄膜的形状，薄膜的高度正比于它们的电位。拉普拉斯方程式（1）要求反映在和3方向曲率的量的总和为零。如果一个函数的二阶导数为正，它就向上弯曲；如为负，就向下弯曲。如果曲率在方狗为正，那么在方向必为负。于是，在图5.4.1中的原点，电位在“方向的偏移是向下成凹形，所以在多方向，电位的偏移一定是向上成凹形的。类似的挂断必然适用于-平面上任一点。其次，因为出现在表5.4.1的第二列的周期函数中的与在指数函数和双曲线函数中的相问，很明显，周期的变化越快，衰减或外观的增长也越快。5.5满足边界条件的模态展开式上一节中用分离变盘法得到的每一个解可以由作用在=常数和一常数的平面内一对平行的表面上的适当的电位来产生。例如，考虑表5.4.1的≥0列中带有恒定乘数的第四个解为D-Asinkrsinhhy(1)这个解在=0的平面和a=n/的平面中，@=0，其中n是一个整数。假设我们令k=nt/a,使得在y=a平面中@也等于零。那么在g=b平面，式(1)的电位P(a,b)=Asinhnbsinn(2)具有对的正弦关系。如果式(2)形式的电位沿着在=b表面作用，并且在=0,x=a和9=0面上保持零电位（警如说，通过保持零电位的平面导体），那么，式(1)的电位将在0<<a，0<<b的空间内部存在。每一段电极受适当电位约束的许多分段电极可以用作9=b处电位的近似分布。图 5. 5. 1 中给出了 n=1和 n=2 时的电位和电场图。注意到 5. 2节中的定理保证所确定的电位是唯一的。d-yaoX=0Xsa-a处中=0图5.5.2在预部插入一电位为的电图5.6.1可以满足边界条件在9=0和-0,2的其有式(1)形式的无数个电位函数中的两个。极的零电位矩形情的积截面。119