电动力学场：重叠积分观点第12章12.0引言本章和以后各章涉及法拉第定律中的电磁感应鄂和安培定律中的位移电流aD/3的联合作用。因此，未作准静态近似的完整的麦克斯韦方程组就成为我们的出发点。按照第1章和第2章所介绍的次序，不过现在又包括了第6 和第9章中普遍化了的极化和磁化的概念，有(1)V (eE) =Pu-V-P(2) VH=J+(eE+P)VXE=-(H+M)(3)(4)V.(μoH) =-.(μM)人们可能要间，把在电准静态学和磁准静态学体系中所作的推广包括在完整的动态麦克斯韦方程组里是否合适?在后面是否还些说明？电场的高斯定律被修正为包括极化过程中积案的电荷。计算离开一个指定体积的电荷量可不变准静态的限制，所以式(1)适用于完全动态的情况。随后，安培定律为保持右端项的无散特征而作修正。但是在那一步中还涉及更多的东西。假设媒质作为一个整体是静止的，aP/at可以毫无疑问地被认为是随时间而变的与极化过程相关的电流密度。于是，式(2)是安培定律在静止的极化介质中的正确的推广。如果媒质以速度运动，×(P×)项必须到该式的右端1.2)。对于磁场，普遍化的高斯定律和法拉第定律可按类比的方式得到。如果媒质是运动的，而且被磁化，则一μoV×(M×)项应该加到式(3)的右端。后面我们将不考虑作这样运动的极化和磁化媒质。在整个这一章，我们所关心的是自由空间中的电磁场。如果在感兴趣的场域内充满了有明显的极化和(或)磁化的材料，则假定构成定律表示线性的和各向同性的材料(5)D=eE+P-E(6)B=μo(H+M)=μH且假定e和 在整个场域内都是均匀的①。在线性各向同性的媒质内，麦克斯韦方程组可写成比较简单的形式VeE=pu(7)VXH=J.+E(8)①为了使本载任意关系式适用于自由空间中，令=0,μ即可1408
(9)GuHXE=(10)V·uH-o在这一章，我们的方法是以前所用方法的继续。通过甲重歪积分表示场，我们着重于电动力学场和它们的源之间的关系。其次我们要计及导体对于电磁场的影响，并介绍边值方法。我们在第4章和第8章中，分别是从用标量位Φ来表示无旋电场E和用矢量位A表示无敬磁场8开始的。这一章中我们从12.1节开始用普遍化的这些位函数表示电动力学条件下的电场和磁场。在第4章中，泊松方程使Φ和它的源和联系，在第8章中它使A和电流密度J报联系。在准静态近似不适用的情况下，是什么方程使这些位和它们相应的源相联系呢？在12.1节中，我们将导出一个非齐次的波动方程，它承担了泊松方程在准静态条件下所充当的角色。根据对下线性极化和磁化材料的这个方程可知，叠加原理可应用于电动力学中。和第 4章或第8章相类似,与奇异源相关的场将是下一一个专题。在12.2节，我们将从一个单元电荷的场开始并建立一个动态的电偶极子的场。在这里我们将举例说明电磁波的激励并且可看到准静态也偶极子场与普遍的电动力学场之间是如何联系的。这一节将通过导出一个和磁偶极子的场相关的电动力学场而结束，这个磁偶极子的场是根据电偶极子的场通过扩展无源区域中麦克斯韦方程的对称性而得的在12.3节中论述的重登积分提供了非齐次波动方程的特解，正象在第4和第8章中分别给出标员和矢量泊松方程的解一样在描述天线的作用时，从源辐射出来的场是我们最关心的。在12.4节中，这些辐射场的重叠积分可用来寻求天线的辐射方向图。在12.5节中将继续讨论天线，其中有一个论题是坡印享定理的复数形式。这个定理使得我们有可能模拟天线的阻抗好象它们的激励源所“看到”的那样在12.6节中，场源是面电流和面电荷的形式。一般说来直接利用重登积分确定相关的场是并不方便的。虽然如此，当源是“给定的”以后，导致相关的场的任何方法都相当于求重叠积分。这一节提供了将在13章中从边值1，题的观点导出的卡儿坐标系中波动方程解的第一个观点。为了给下一章边值问题方法做准备，边界条件过洽当地选择的源来满足。于是，在13章中将要根据边值观点考虑的平板型波导在这里可用由给定源所触发的波的观点来看。在12.7节中所用的镜象法，提供了用这种方法满足边界条件的更多例子。在这一章中引入的边界，都是假定为完绝导电的。在13章中，边界也可以是完纯绝缘介质之间的交界面。在这两章中,主涵都是与磁波的传播和反射有关的动态现象。动态特性通过一个或多个出磁的通过时间Tem表征。与用参数T。和Tm表征的电荷法豫和磁扩散现象相关的动态现象是不包拍在内的。我们将在第14和15章中再考虑它们。12.1电动力学场和位任这一节中，我们把标最位和父量位的应用扩展到述电动力学场，在我们所关心的区域内，不成对的电荷的电流密度，和电荷密度p规定是空间和时间的函教。如果有任何物质存409
在，则认为介电常数e和磁导率μ是均勾的，即D=eE和B=μH。对这些区域里的准静态场，位函数Φ和A是由泊松方程支配的。在这一节里，我们将看到准静态场中泊松方程的角色将被电动力学场的非齐次波动方程取代。在第4和第8两章中，位函数是这样引入的使能自动地满足两个无源定律中的一个。在第4章，我们令E-VΦ，是为了E自动满足无旋特性即×E=0。在第8章中，我们令B=×A是为了B白动满足无散特性，即V·B=0。在构成变克斯韦方程组的四个定律(12.0.7)(12.0.10)中，高斯定律和安培定律是涉及源的；而最后的两个，法拉第定律和磁通连续性定律是不涉及源的。按照以前用过的方法，位函数应在自动满足法拉第定律和磁通连续性定律，即式(12.0.9)和(12. 0. 10)的前提下引入。这是下述步骤的的。已知磁通密度仍为无散的，矢量位A可以和第8章中一样地被定义为B-μH-VXA(1)把uHI以这样方式表示后，式(12.0.10)再次自动地满足，并且法拉第定律式(12.0.9)变为x(E+3A)=0(2) 小t如果我们令括号中的量等于一V，则上式也就自动地满足了。--0-(3)当H和E根据由(1)和(3)式给出的@和A定义时，麦克斯韦四个方程中的最后两个，式(12.0.9)和(12.0.10)，也是自动满足的。然而要注意的是，用来表示场H和E的位通过式(1)和(3)并没有完全确定。我们可对A加上任一标量函数的梯度，于是，A和Φ都变了，但并不影响H和E。因此位函数还需进一步规定。现在，我们转而寻求A和Φ必须遵循的方程，以使麦克斯韦方程组的前面两个方程（12.0.9-12.0.10)，即高斯定律和安培定律能满足。把(1)和(3)代入安培定律式(12.0.8)中，给出×(0×A)=μ(--)+μ.(4)利用矢量恒等式可改写上式的左端，使方程成为V(V-A)-"A-)+uJ,(5)7改变梯度运算和对时间求导的次序，上式为PA+u(vAIμe)-VA--(6)为了唯一确定A，我们不仅必须规定A的旋度而且还必须给出它的散度，这点已在8.0节中做过了。在我们心的是磁准净态场的8.1节，我们发现令A无散是方便的。在我们保留有位移电流的现在，我们这样来规定A的散度使式(6)左端括号中的量为零，· 410
.A--(7)·A的这种选择称为洛仑兹规范。在这一规范下，表示安培定律式(6)的表达式简化成只涉及A而不包括Φ。A-μA--J.(8) 麦克斯韦方程组中的最后一个方程，即高斯定律，是通过使中遵循把(3)代人式(12.0.7)中而得的微分方程而满足的，(9))=u+%(A)=-P(---A4将V·A应用式(7)替代，可从上式中消去A0--(10)总之，当H和E通过式（1)和(3）用矢量位A和标量位Φ定义后，这些位函数的分布分别由矢量和标量的非齐次波动方程(8)和(10)所支配，不成对的电荷密度和不成对的电流密度是这些方程的“源”。根据这些位函数表示场意味若所确定的A的“规范”是使A和Φ通过式(7)联系。式(8)和(10)中的时间导数项是保留了位移自流和电磁感应的结果。这样，在准静态条件的限制下，这些项是被忽略的，于是回到山泊松方程支配的矢量位和标盘位。叠加原理A和Φ所满足的非齐次波动方程(式(8)和(10))以及规范条件(7)式,当右端的源给定时，是线性的。也就是说，如果与源J.和p.相关的解是A。和Φ，(11)→(A,)(Jap)相似地，如J，和p产生的位是A和@，(12)(Jb,pb) (Ab, Φ)) 那么，由各个源之和产生的位就等于由各别的源产生的位之和(13)[(J,+J), (,-b)J-[(A+Ab), (@+@))这一叠加原理的正式证明可由4.3节中对丁治松方程所用的相同理由而得。应该记住，代式(8)和(10)中右边给定的电荷和流密度，是由电荷守恒定律相联系的。因此，虽然在式(8)和(10)中出现的Φ和A是独立的，但实际上它们是互相耦合的。源的这种相互依赖性也反映在由规范条件式(7)建立的标员位和失盘位之间的联系中。一且求得A后，就能很方便地利用这一·关系式确定Φ。连续性条件麦克斯韦方程［(12.0.7)一(12.0.10)式，和山安倍定律的散度和高斯定律相结合而得到的电荷守恒定律，包含了一个连续性条件。在没有极化和磁化的情况下，这些条件已经在第1:4111
章从积分定律中导出。在第6和第9章中推广到包含极化和磁化的情况，则对于式(12.0.7)一(12.0.10)的连续性条件分别是，(14)n.(e,E-eEb) =0su(15)nx(H"-Hb)-K.(16)n×(E*-Fb)=0(17)n-(μ,HμHh)-0这些条件的推导过程与在第1章中引人积分定律诸节中的最后部分给出的一样，只是将法拉第定律中的μH用uH代替，安培定律中的E用eE代替。在12.6和12.7节以及后续各章中，这些条件被用来把电动力学场和表面电流以及表面电荷相联系。一开始，我们认为连续性条件中的两个，象法拉第定律和磁通连续定律并非相互独立。进而，正象安培定律和高斯定律隐含了J。和 P。之间的电街守恒关系一样，和这些定律机入的连续性条件隐含了表面电流密度和表面电荷密度所遵循的电荷守恒连续性条仆da为观察第一个相互依赖关系，将法拉第定律(0)对交界面内的由某一周线C所包周的表面8积分，如图12.1.1a所示。然后应用斯托克斯定理(b)写山fE.ds=-aluH.da(18)图12.1.1（a）恰好在交界面之上或我之下的表面Sb）包围交界面的一部分，堆既厚度为，的体积不论取交界面的(a)面或(b)面，式(18)左边的线积分是相同的。这可从法拉第连续性定律(16)式得出。因此，如果我们取式(18)在(a)面和(b)面求得值之差，可得α(uH"-μH)-n =0(19)通过使切向电场强度连续，我们已保证法磁通密度的时闻导数的连续性。对干正弦时变过程，使切向电场相匹配的条件自动地保证了法向磁迟密度的匹配。特别是考虑导体的表面在磁准静态态义下是“完纯的”，则在此导体中的电场为零。根据式(16)，正好在导体外表面处，E的切向分量一定也是零。鉴于式(19)，我们得出在完纯导体表闻的磁通密度的法向分虽一定与时间无关的结论。这一边界条件从第8 章的后半部已经熟悉①。已知安培定律的散度和高斯定律的结合，给出电荷守恒，VJu+e=0(20)我们期望在条件式(14)一(17)中,存在着第二个关系,这次是在前两个条件中出现的表面电荷密度与表面电流密度的关系。在图12.1.1b中示出的“药丸盒”的体积上积分，得到n[gada+f,pd -0(21)+401注意，不存在时变的无限大的导体而在另一方向上悬绝缘体的材料表面上可能没有 uH 的法向分量，但却在零电导率方向上支持着一个切向电场。412 ·