《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第七章 空间解析几何与向量代数 7-5 向量及其线性运算

向量与数的乘法的坐标表达式a=(ax, a,, a)aa=(aar, Ra,,Aa特殊地，一向量与其单位向量的关系为aa[al经济数学微积分

a a a a = ( x y z , , ,)     a a a a = ( x y z , , ) 向量与数的乘法的坐标表达式 | a | a   = 特殊地，一向量与其单位向量的关系为 0 a

两个向量的平行关系定理设向量a±0，那末向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数 ，使b= a经济数学微积分

. 0 b a b a a       =   是：存在唯一的实数 ，使 那末向量 平行于 的充分必要条件 设向量 ， 两个向量的平行关系 定理

显然；证明充分性万设a取必要性al当b与同向时取正值，当b与a反向时a取负值，即有b=i.h：此时与同向且===a的唯一性。 设b=aa，又设b=ui,两式相减，得（μ)a=，即l-μla=0,:a±0，故a-μ=0,，即=μ.C微积分经济数学

证明 充分性 显然； 必要性 a  b ‖  设 , a b   取  = 当b 与a同向时 取正值，   当b 与a 反向时 取负值，   b a.   即有 =  此时b 与 a同向.     a a   且  =  a a b    = b .  =  的唯一性. 设 b a，   =  又设b a，   =  两式相减，得 ( ) 0，    −  a = 即 − a = 0，    a  0，   故  −  = 0， 即 = 

例 1 设A(xi,J,z)和B(x2,2,zz)为两已知点，而在AB直线上的点M分有向线段AB为两部分AM、MB，使它们的值的比等于某数2(a≠-1)，即AM，求分点的坐标MBZ解设M(x,y,z)为直线上的点，BAM=-(x-xi, y-yi, z-zl)MV0MB=(x, -x, J2 - y, zz -z)化微积分经济数学

解 AM x x y y z z = − − − ( 1 1 1 , , ) MB x x y y z z = − − − ( 2 2 2 , , ) 设 M(x, y,z) 为直线上的点， A B M x y z o 例 1 设 ( , , ) 1 1 1 A x y z 和 ( , , ) 2 2 2 B x y z 为两已知点，而 在 AB直线上的点M 分有向线段 AB为两部分 AM、 MB ，使它们的值的比等于某数 (  −1) ， 即 =  MB AM ，求分点的坐标

由题意知：AM =2MB(x-xi, J-Ji, z-z)=a(xz-x, z-y, zz -z),x, +ax2x-x=a(x, -x) =x=1+2-=a(y,-) =+21+2Zi +Z2z-Zi = 2(z2 - z):1+2M为有向线段AB的定比分点．M为中点时Z + Z2Xi + x2Yi + y2x=Z=V22201C经济数学微积分

由题意知： AM = MB ( x x y y z z − − − 1 1 1 , , ) = − − −  ( x x y y z z 2 2 2 , , ,) x − x1 ( ) =  x2 − x 1 y − y ( ) 2 =  y − y 1 z − z ( ) 2 =  z − z , 1 1 2   + +  = x x x , 1 1 2   + +  = y y y , 1 1 2   + +  = z z z M为有向线段AB的定比分点. M 为中点时， , 2 x1 x2 x + = , 2 1 2 y y y + = . 2 1 2 z z z + =