高算数字课程妥媒课 北理工大罗理享> 3.无穷小的运算性质: 定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小 证设a及β是当x→>时的两个无穷小 VE>0,丑N1>0,N2>0,使得 当x>N时恒有a<5;当x>N时恒有B<; 取N=maxN1,N2},当x>N时,恒有 士Ba+B<2+2=8,B→0(x→0) H tt p:// h e u t.e d u. c n
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 设及是当x → 时的两个无穷小, 0,N1 0, N2 0,使得 ; 2 1 当 x N 时恒有 ; 2 2 当 x N 时恒有 max{ , }, 取 N = N1 N2 当 x N时,恒有 + 2 2 + = , → 0 (x → ) 3. 无穷小的运算性质:
高算数字课程妥媒课 北理工大罗理享> 注 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 意 例如n→>∞时,是无穷小, 但n个之和为不是无穷小 n 定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证设函数在U(x0,81有界, 则彐M>0,81>0,使得当0<x-x0<81时 恒有lu≤M. 又设c是当x→x时的无穷小 Http://www.heut.edu
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 时 是无穷小， n n 1 , → , 1 . 1 但 个 之和为 不是无穷小 n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u在U 0 (x0 ,1 )内有界， . 0, 1 0, 0 0 1 u M M x x − 恒有 则 使得当 时 , 又设是当x → x0时的无穷小 注 意