浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot 伊藤过程与伊藤引理 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数,若把变量x的漂移率和方 差率当作变量x和时间t的函数,我们就可以得到 =a(x,)d+b(x,0) 这就是伊藤过程( I to Process)。其中,dz是一个标准布朗运 动,a、b是变量x和t的函数,变量x的漂移率为a,方差率为b2。伊藤 过程的核心仍然是维纳过程 在伊藤过程的基础上,伊藤进一步推导出:若变量x遵循伊藤过程, 则变量x和t的函数G将遵循如下过程: aGaG 1aG G dG= 其中,dz是一个标准布朗运动。可以看到,a++2a和ar都是 x和的函数,因此函数G也遵循伊藤过程,漂移为ca,cC,cg, 方差率为(,这就是著名的伊藤引理。 ar ar 2 ar 出人字就
16 伊藤过程与伊藤引理 • 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方 差率当作变量x和时间t的函数，我们就可以得到 • 这就是伊藤过程（Ito Process）。其中，dz是一个标准布朗运 动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。伊藤 过程的核心仍然是维纳过程。 • 在伊藤过程的基础上，伊藤进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程， 则变量x和t的函数G将遵循如下过程： • 其中，dz是一个标准布朗运动。可以看到, 和 都是 x和t的函数，因此函数G也遵循伊藤过程，漂移为 ， 方差率为 ，这就是著名的伊藤引理。 dx = a(x,t)dt + b(x,t)dz bdz x G b dt x G t G a x G dG ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ) 2 1 ( 2 2 2 2 2 2 1 2 G G G a b x t x ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ G b x ∂ ∂ 2 2 2 1 2 G G G a b x t x ∂ ∂ ∂ + + 2 2 ∂ ∂ ∂ ( ) G b x ∂ ∂
浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot 伊藤过程与伊藤引理 案例1:运用伊藤引理推导InS所遵循的随机过程 假设变量S服从4S=Sh+S 其中μ和σ都为常数,则lnS遵循怎样的随机过程? 由于μ和o是常数,S显然服从S,)=的伊藤过程,我们可以运用 伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程。 令 G=ln s 则 aG 1 aG at 代入式 dG=(oGaaG1a'G b2)dr+=bde ar 2 ax2 我们就可得到aS,)=S所遵循的随机过程为 dG =dIn S=(u--)dt+o d- 由于dlnS是股票的连续复利收益率,得出的公式说明股票的连续复利收 益率服从期望值(μ-),方差为a2d的正态分布。 出人字就
17 伊藤过程与伊藤引理 • 案例1: 运用伊藤引理推导InS所遵循的随机过程 • 假设变量S服从 • 其中μ和σ都为常数，则lnS遵循怎样的随机过程？ • 由于μ和σ是常数，S显然服从 的伊藤过程，我们可以运用 伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程。 • 令 ，则 • 代入式 • 我们就可得到 所遵循的随机过程为 由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续复利收 益率服从期望值 ，方差为 的正态分布。 dS Sdt Sdz = + µ σ a S t S ( , ) = µ b S t S ( , ) = σ , 0 1 , 1 2 2 2 = ∂ ∂ = − ∂ ∂ = ∂ ∂ t G S S G S S G bdz x G b dt x G t G a x G dG ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ) 2 1 ( 2 2 2 2 ln ( ) 2 d G d S dt d z σ = = − + µ σ 2 σ dt 2 ( ) 2 dt σ µ − G = ln S
浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot 伊藤过程与伊藤引理 案例2:运用伊藤引理推导期货价格F所遵循的随机过程 ·假设变量S服从dS=μSM+aS 其中μ和σ都为常数,则该标的资产的期货价格F遵循怎样的随机过 程? 由于μ和σ是常数,aS,)=μS饥S,0=σS的伊藤过程,可以运用伊藤引 理推导InS所遵循的随机过程。 由于F=Se(7-)则 =ell-n 0F F A at ·代入式(12.7),得到F所遵循的随机过程为 dF=(u-r)Fat+o Fdk 这说明,期货价格的漂移率比股票小r,这是因为股票投资需要现金 投入,所以投资回报中包含时间报酬和风险报酬,而期货投资无须现 金投入(除了少量保证金忽略不计外),因此只有风险报酬。 出人字就
18 伊藤过程与伊藤引理 • 案例2：运用伊藤引理推导期货价格F所遵循的随机过程 • 假设变量S服从 • 其中μ和σ都为常数，则该标的资产的期货价格F遵循怎样的随机过 程？ • 由于μ和σ是常数， 的伊藤过程，可以运用伊藤引 理推导In S所遵循的随机过程。 • 由于 ，则 • 代入式（12.7）,得到F所遵循的随机过程为 这说明，期货价格的漂移率比股票小r，这是因为股票投资需要现金 投入，所以投资回报中包含时间报酬和风险报酬，而期货投资无须现 金投入（除了少量保证金忽略不计外），因此只有风险报酬。 dS Sdt Sdz = + µ σ a S t S ( , ) = µ b S t S ( , ) = σ r T t ( ) F Se − = F r T t ( ) e S ∂ − = ∂ 2 2 0 F S ∂ = ∂ F rF t ∂ = − ∂ dF r Fdt Fdz = − + ( ) µ σ
浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot 股票价格的变化过程:几何布朗运动 一般来说,金融研究者认为证券价格的变化过程可以 用漂移率为μS、方差率为(σS)2的伊藤过程(即几 何布朗运动)来表示:dS=p5M+oS 之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个: 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的 问题,二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布,这与实际较为吻合。 出人字就
19 股票价格的变化过程：几何布朗运动 • 一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以 用漂移率为μS、方差率为 （σS）2的伊藤过程（即几 何布朗运动）来表示： • 之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个： • 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的 问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。 dS Sdt Sdz = + µ σ
浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot ·从案例1已知,如果股票价格服从几何布朗运动,则有 dG=dIn S=(u-d +od 从自然对数的定义域可知,S不能为负数。另外从公式( 12.8)可以看出,股票价格的对数服从普通布朗运动,因 为它具有恒定的漂移率和恒定的方差率。由前文的分析可 知,当一个变量服从普通布朗运动a=a+M时,其在任 意时间长度T-1内的变化值都服从均值为-0、方差 为6(-0的正态分布。也就是 In S,-In S ((u-O(T-D,oVT-t (129) 出人字就
20 • 从案例1已知，如果股票价格服从几何布朗运动，则有 • 从自然对数的定义域可知，S不能为负数。另外从公式（ 12. 8)可以看出，股票价格的对数服从普通布朗运动，因 为它具有恒定的漂移率和恒定的方差率。由前文的分析可 知，当一个变量服从普通布朗运动 时，其在任 意时间长度 内的变化值都服从均值为 、方差 为 的正态分布。也就是 (12.9) 2 ln ( ) 2 dG d S dt dz σ = = − + µ σ dx adt bdz = + T t − a T t ( ) − 2 b T t ( ) − 2 ln ln [( )( ), ] 2 T S S u T t T t σ − Φ − − − σ