浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot 标准布朗运动 ◆那么为什么采用维纳过程来描述股票价格变化中的随机 因素呢? ◆首先,维纳过程中用￡即标准正态分布的随机变量来反 映变量变化的随机特征。现实生活中很多变量的分布都 近似于正态分布,加上其在数学上的易于处理,使得正 态分布成为最常见和最重要的分布假设之一。金融市场 也不例外,经验事实证明,股票价格的连续复利收益率 近似地服从正态分布。 出人字就
11 标准布朗运动 � 那么为什么采用维纳过程来描述股票价格变化中的随机 因素呢？ � 首先，维纳过程中用 即标准正态分布的随机变量来反 映变量变化的随机特征。 现实生活中很多变量的分布都 近似于正态分布，加上其在数学上的易于处理,使得正 态分布成为最常见和最重要的分布假设之一。金融市场 也不例外，经验事实证明，股票价格的连续复利收益率 近似地服从正态分布。 ε
浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot 标准布朗运动 ◇其次,数学上可以证明,具备特征1和特征2的维纳过程是一个马尔 可夫随机过程,这一点与金融学中的弱式效率市场假说不谋而合。 1965年,法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说,之后许多学者 运用各种数据进行实证分析发现,发达国家的证券市场大体符合弱 式有效市场假说,即证券价格变动的历史不包含任何对预测证券 价格未来变动有用的信息,也就是说不能通过技术分析获得超额 收益。而这一点正好与马尔可夫过程的性质相符 除了上述两个原因之外,维纳过程在数学上对时间处处不可导和二 次变分( quadratic variation)不为零的性质、与股票收益率在时 间上存在转折尖点等性质也是相符的,由于所涉及的数学较为复 杂,本课程不再详述。 出人字就
12 标准布朗运动 � 其次，数学上可以证明，具备特征1和特征2的维纳过程是一个马尔 可夫随机过程，这一点与金融学中的弱式效率市场假说不谋而合。 1965年，法玛（Fama)提出了著名的效率市场假说，之后许多学者 运用各种数据进行实证分析发现，发达国家的证券市场大体符合弱 式有效市场假说，即证券价格变动的 历史不包含任何对预测证券 价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析 获得超额 收益。而这一点正好与马尔可夫过程的性质相符。 � 除了上述两个原因之外，维纳过程在数学上对时间处处不可导和二 次变分 (quadratic variation)不为零的性质、与股票收益率在时 间上存在转折尖点等性质也 是相符的，由于所涉及的数学较为复 杂，本课程不再详述
浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot 普通布朗运动 维纳过程描述了变量z的随机运动,然而现实生活中大 部分变量的运动过程不仅包括随机波动,还可能存在 时间趋势等特征,而且随机波动的方差不一定等于时 间长度。因此,需要在维纳过程的基础上进一步引入 普通布朗运动,以更好地描述随机变量的运动特征。 为了得到普通布朗运动,必须引入两个概念:漂移率 ( drift rate)和方差率( var1-ance rate)。漂移率 是指单位时间内变量均值的变化值。方差率是指变量 单位时间的方差。 出人字就
13 普通布朗运动 • 维纳过程描述了变量z的随机运动，然而现实生活中大 部分变量的运动过程不仅包括随机波动，还可能存在 时间趋势等特征，而且随机波动的方差不一定等于时 间长度。因此，需要在维纳过程的基础上进一步引入 普通布朗运动，以更好地描述随机变量的运动特征。 • 为了得到普通布朗运动，必须引入两个概念：漂移率 （drift rate)和方差率（variance rate)。 漂移率 是指单位时间内变量均值的变化值。方差率是指变量 单位时间的方差
浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot 晋通布朗运动 令漂移率为a,方差率为b2,我们就可得到变量x的普通布朗运动 d x= adt+ bdz (12.5) 式中,a和b均为常数,dz遵循标准布朗运动。式(12.5)表明遵循 普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程。式中的第 项adt为确定项,意味着x的漂移率是每单位时间为a;第二项bdz 是随机项,它代表着对x的时间趋势过程所添加的噪音,使变量x 围绕着确定趋势上下随机波动,且这种噪音是由维纳过程的b倍给 出的。从式(12.3)和(12.5)可知,在短时间△后,x值的变 化值r为Ax=△+E√△ 出人字就
14 普通布朗运动 • 令漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x 的普通布朗运动： （12.5） • 式中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。式(12. 5)表明遵循 普通布朗运动的变 量x是关于时间和dz的动态过程。式中的第一 项adt为确定项，意味着x的漂移率 是每单位时间为a;第二项bdz 是随机项，它代表着对x的时间趋势过程所添加的噪 音，使变量x 围绕着确定趋势上下随机波动，且这种噪音是由维纳过程的b倍给 出的。 从式（12. 3)和（12. 5)可知，在短时间 后 ，x值的变 化值 为 dx adt bdz = + ∆x = a∆t + bε ∆t ∆x ∆t
浙江大学远程教育学院—金融工程学 浙江大学继续敦育学院 Schodl ot 普通布朗运动 ·因此,△r也具有正态分布特征,其均值为a,标准差为△M 方差为b△。同样,在任意时间长度7-1后,x值的变化 也具有正态分布特征,其均值为a(,标准差为M方 差为b(7-这个结论很重要,在下面将会运用到这一结 论 很显然,标准布朗运动的漂移率为0,方差率为1.0。漂移率 为0意昧着在未来任意时刻z的均值都等于它的当前值;方 差率为1.0意味着在一段长度为时间段后,Z的方差为 1.0×T。标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例。 出人字就
15 普通布朗运动 • 因此， 也具有正态分布特征，其均值为 ,标准差为 方差为 。同样，在任意时间长度 后,x值的变化 也具有正态分布特征，其均值为 ,标准差为 ，方 差为 ，这个结论很重要，在下面将会运用到这一结 论。 • 很显然，标准布朗运动的漂移率为0,方差率为1.0。漂移率 为0意昧着在未来 任意时刻z的均值都等于它的当前值；方 差率为1. 0意味着在一段长度为T的时间段后,Z的方差为 1.0×T。标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例。 a∆t b ∆t b ∆t 2 ∆x T t − a T t ( ) − b T t − 2 b T t ( ) −