Ch9数项级数 计划课时:14时 P143 2005.03.08 Ch9数项级数(14时) §1预备知识:上极限和下极限(2时)
Ch 9 数项级数 计划课时：14 时 P 1—43 2005. 03. 08. Ch 9 数项级数 （ 1 4 时 ） § 1 预备知识：上极限和下极限（2 时）
§2级数的收敛性及基本性质(3时) 一、概念: 1.级数:级数,无穷级数;通项(一般项,第n项)前n项部分和等概念 (与中学的有关概念联系)级数常简记为∑n 级数的敛散性与和:介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想.以在中学 学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 例1讨论几何级数∑q的敛散性 解|qk1时,S=∑q 1-q 数收敛 q lq卜1时,Sn=…,级数发散; q=1时,Sn=n+1→>+∞,(n→>∞),级数发散; q=-1时,Sn=(+(-1).(n→∞),级数发散 综上,几何级数∑q”当且仅当|qK1时收敛,且和为 1。(n从0开始 例2讨论级数∑ 的敛散性.解用链锁消去法求S n 例3讨论级数∑的敛散性 解设S k123 +-1 22232 →Sn→>2,(n→∞).因此,该级数收敛 例4讨论级数∑。2n的敛散性 34
§ 2 级数的收敛性及基本性质（ 3 时 ） 一、概念 ： 1． 级数 ：级数 ，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第 项 ), 前 项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为 n n ∑un . 2． 级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以在中学 学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例 1 讨论几何级数 ∑ 的敛散性. ∞ n=0 n q 解 q < 1|| 时 , ) ( , 1 1 1 1 0 ∞→ − → − − ∑ == = n qq q qS n n k k n . 级数收敛 ; q > 1|| 时, = ", 级数发散 ; Sn q = 1时, nS 1 +∞→+= , n n → ∞ ) ( , 级数发散 ; q −= 1时, ( ) n n S )1(1 2 1 −+= , n → ∞ ) ( , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑ 当且仅当 时收敛, 且和为 ∞ n=0 n q q < 1|| 1− q 1 ( n 从 0 开始 ). 例 2 讨论级数 ∑ ∞ =1 + )1( 1 n nn 的敛散性. 解 用链锁消去法求 . Sn 例 3 讨论级数∑ ∞ n=1 2n n 的敛散性. 解 设 ∑= − + − ++++== n k n k n n k nn S 1 32 1 22 1 2 3 2 2 2 1 2 " , Sn = 2 1 432 1 22 1 2 3 2 2 2 1 + + − ++++ nn nn " , 32 1 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 + −++++=−= nn n nn n SSS " = 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 →− − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = n+ n n , n → ∞ ) ( . ⇒ , . 因此, 该级数收敛. Sn → 2 n ∞→ ) ( 例 4 讨论级数∑ ∞ =1 − 35 2 n n n 的敛散性. 134
2n2n2 2 解 Sn>"5+∞,(n>∞).级数发散 3.级数与数列的关系 ∑un对应部分和数列{Sn},∑un收敛台{Sn}收敛,对每个数列{xn} 对应级数x1+∑(xn-xn),对该级数,有Sn=xn于是,数列{xn}收敛 级数x1+∑(xn-xn-)收敛可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式 4.级数与无穷积分的关系: J八(=2J=2 其中n=「f.无穷积分可化为级数;对每 个级数,定义函数f(x)=ln,n≤x<n+1,n=1,2,…,易见有 ∑n=∫(x)d,即级数可化为无穷积分综上所述,级数和无穷积分可以 互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个 、级数收敛的充要条件— Cauchy准则:把部分和数列{Sn}收敛的 cauchy准则翻译成级数的语言,就得到级数收敛的 Cauchy准则 Th(chy准则)∑ln收敛VE>0,彐N,Wn>N和vp∈N 由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序)级数的有限项,不会影 响级数的敛散性.但在收敛时,级数的和将改变.去掉前k项的级数表为 系(级数收敛的必要条件)∑n收敛→imun=0 例5证明p-2级数∑收敛 证显然满足收敛的必要条件,令ln=2,则当n≥2时有 台(n+k)2红(n+k-1)(n+k) P 135
解 5 2 , 5 2 5 2 35 2 ⋅>⇒=> − nS n n n n n → + ∞ , n → ∞ ) ( . 级数发散. 3． 级数与数列的关系 : ∑un 对应部分和数列{ Sn }, ∑un 收敛 ⇔ { }收敛; 对每个数列{ }, 对应级数 , 对该级数, 有 = . 于是, 数列{ }收敛 Sn n x ∑ ∞ = −+ − 2 1 1 )( n nn xxx Sn n x n x ⇔ 级数 ∑ 收敛. 可见, 级数与数列是同一问题的两种不同形式 . ∞ = −+ − 2 1 1 )( n nn xxx 4. 级数与无穷积分的关系 : ∫ ∑ ∫ +∞ ∞ = + == 1 1 1 )( n n n fdxxf ∑ ∞ n = 1 u n , 其中 . 无穷积分可化为级数 ; 对每 个级数 , 定义函数 ∫ + = n 1 n n fu = n , )( ≤ < + nnxnuxf = , 2 , 1 , 1 " , 易见有 = . 即级数可化为无穷积分. 综上所述 , 级数和无穷积分可以 互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 . ∑ ∞ n = 1 u n ∫ +∞ 1 )( dxxf 二、级数收敛的充要条件 —— Cauchy 准则 ：把部分和数列{ }收敛的 Cauchy 准则翻译成级数的语言 ， 就得到级数收敛的 Cauchy 准则 . Sn Th ( Cauchy 准则 ) ∑ 收敛 un ⇔ ∀ε > ∃ , , 0 ∀ > NnN 和 ∀p ∈N, ⇒ | | ε nn ++ 21 "+++ uuu + pn < . 由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 , 不会影 响级数的敛散性 . 但在收敛时 , 级数的和将改变 . 去掉前 项的级数表为 或 . k ∑ ∞ kn += 1 n u ∑ ∞ = + n 1 kn u 系 ( 级数收敛的必要条件 ) ∑un 收敛 ⇒ = 0lim∞→ n n u . 例 5 证明 级数 p − 2 ∑ ∞ =1 2 1 n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件 . 令 2 1 n un = , 则当 n ≥ 2时有 ∑ ∑ = = ++ + < + −= +−+ < + =+++ p k p k nn pn kn npnnknkn uuu 1 1 21 2 , 111 ))(1( 1 )( 1 | " | " 135
应用 Cauchy准则时,应设法把式1∑unk不失真地放大成只含n而不含p的式子, 令其小于E,确定N 例6判断级数∑nsin的敛散性.(验证Ln协0.级数判敛时应首先 验证是否满足收敛的必要条件) 例7(n→0但级数发散的例)证明调和级数∑二发散 证法一(用 Cauchy准则的否定进行验证) 证法二(证明{Sn}发散利用Ch10习题课例2已证明的不等式 h(n+1)<1++…+<1+mn即得S→+0,(n→∞)) 三.收敛级数的基本性质:(均给出证明) 性质1∑un收敛,a- Const→∑an收敛且有∑aun=a∑u (收敛级数满足分配律) 性质2∑un和∑vn收敛,→∑(un±vn)收敛,且有 ∑(un±,)=∑n±∑ 问题:∑un、∑v、∑(un±vn)三者之间敛散性的关系 性质3若级数∑un收敛,则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变 (收敛数列满足结合律) 例8考查级数∑(-1)y从开头每两项加括号后所得级数的敛散性。该例的 结果说明什么问题 ExP11-121 §3正项级数(3时) 正项级数判敛的一般原则 正项级数:un>0,Sn;任意加括号不影响敛散性 2.基本定理: 136
应用 Cauchy 准则时，应设法把式 |∑ |不失真地放大成只含 而不含 = + p k kn u 1 n p 的式子， 令其小于ε ，确定 N . 例 6 判断级数 ∑ ∞ =1 1 sin n n n 的敛散性. ( 验证 . 级数判敛时应首先 验证是否满足收敛的必要条件 ) un →/ 0 例 7 ( un → 0 但级数发散的例 ) 证明调和级数∑ ∞ =1 1 n n 发散 . 证法一 ( 用 Cauchy 准则的否定进行验证 ) 证法二 ( 证明{ } Sn 发散. 利用 Ch 10 习题课例 2 已证明的不等式 n n n ln1 1 2 1 1 )1ln( " +<+++<+ . 即得 Sn +∞→ ， n → ∞ ) ( . ) 三． 收敛级数的基本性质：（ 均给出证明 ） 性质 1 ∑ 收敛， — Const un a ⇒ ∑aun 收敛且有 ∑aun = a ∑un ( 收敛级数满足分配律 ) 性 质 2 ∑un 和 ∑vn 收 敛 ， ⇒ )( nn ∑ ± vu 收 敛 , 且 有 )( = . nn ∑ ± vu ∑un ± ∑ n v 问题 : ∑un 、 、 ∑ n v )( nn ∑ ± vu 三者之间敛散性的关系. 性质 3 若级数 收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 , 且和不变 . ( 收敛数列满足结合律 ) ∑un 例 8 考查级数 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 . 该例的 结果说明什么问题 ? ∑ ∞ = + − 1 1 ) 1 ( n n Ex P11—12 1 — 4. § 3 正项级数（ 3 时 ） 一. 正项级数判敛的一般原则 : 1．正项级数 : ↗; 任意加括号不影响敛散性. n Su n > , 0 2．基本定理 : 136
Th1设n20,则级数∑un收敛Sn=01).且当∑un发散时, 有 Sn→+∞,(n→∞) (证) 正项级数敛散性的记法 3.正项级数判敛的比较原则 Th2设∑n和∑vn是两个正项级数,且3N,n>N时有un,≤Tn,则 ∑ <+ lL<+∞ i>∑un=+∞,→∑vn=+∞.(ⅱ>是1>的逆否命题) 例1考查级数∑ 的敛散性 解有-n+1>0,→ n+ 例2设0<p<q(q>1),判断级数∑psin"1的敛散性 系1(比较原则的极限形式)设∑un和∑是两个正项级数且m=1,则 i>0<1<+时,∑un和∑n共敛散 i)>l=0时, ∑ v<+∝ lL<+∞ i)l=+时,∑vn=+,→∑ lL=+0 (证) 系2设∑un和∑vn是两个正项级数,若un=0(vn),特别地,若 ln~n,(n→∞),则∑x+分∑"n=+ 例3判断下列级数的敛散性 (1) 2 正项级数判敛法: 1.检比法:亦称为 D'alembert判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所 谓检比法 137
Th 1 设 un ≥ 0 . 则级数 ∑un 收敛 ⇔ Sn = )1(0 . 且当 ∑un 发散时, 有 +∞→ , Sn n → ∞ ) ( . ( 证 ) 正项级数敛散性的记法 . 3． 正项级数判敛的比较原则 : Th 2 设 和 是两个正项级数 ∑un ∑vn , 且∃ , > NnN 时有 nn ≤ vu , 则 ⅰ> ∑vn < ∞+ , ⇒ ∑un < + ∞ ; ⅱ> ∑un = ∞+ , ⇒ ∑vn = + ∞ . ( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 ) 例 1 考查级数∑ ∞ =1 +−2 1 1 n nn 的敛散性 . 解 有 , "" 2 1 1 , 01 2 2 2 2 nnn n n < +− ⇒>+− 例 2 设 ) 1 ( 0 π qqp ><< . 判断级数∑ ∞ = + 1 1 1 sin n nn q p 的敛散性 . 系 1 ( 比较原则的极限形式 ) 设∑un 和 是两个正项级数且 ∑ n v l v u n n n = ∞→ lim ,则 ⅰ> l 0 ∞+<< 时 , ∑ 和∑ 共敛散 ; un n v ⅱ> l = 0 时 , ∑ < , ⇒ n v ∞+ ∑un < + ∞ ; ⅲ> l +∞= 时 , ∑ = , ⇒ n v ∞+ ∑un = + ∞ . ( 证 ) 系 2 设 和 是两个正项级数 , 若 = ， 特别地 ，若 ～ , ， 则 ∑un ∑ n v un vn )(0 un n v n ∞→ ) ( ∑un < ∞+ ⇔ ∑ n v = + ∞ . 例 3 判断下列级数的敛散性: ⑴ ∑ ∞ =1 2 − 1 n n n ; ( n n 2 − 1 ～ n 2 1 ) ; ⑵ ∑ ∞ =1 1 sin n n ; ⑶ ∑ ∞ = + 1 2 ) 1 1 ln( n n . 二、正项级数判敛法: 1． 检比法： 亦称为 D’alembert 判别法 . 用几何级数作为比较对象 , 有下列所 谓检比法 . 137