Ch11函数项级数、幂级数 计划课时:12时 P156170 2005.03.27 Ch11函数项级数、幂级数(12时) §1函数项级数的一致收敛性(6时 函数列及极限函数:对定义在区间I上的函数列{n(x)},介绍 概念:收敛点,收敛域(注意定义域与收敛域的区别),极限函数等概 逐点收敛(或称为“点态收敛”)的“E-N”定义 例1对定义在(-∞,+∞)内的等比函数列∫n(x)=x",用“E-N” 定义验证其收敛域为(-1,1],且 lim f(x)=lim x"= ∫0,1x|<1 sIn nx 例2fn(x) 用“E-N”定义验证在( ∞.+∞ )内 lim f,(x)=0 例3考查以下函数列的收敛域与极限函数:(n→>∞) (1)fn(x)= fn(x)→>sgnx R f (x)=xin+l fn(x)→>Sgnx,x∈R (3)设n1,2…,rn,…为区间[0,1上的全体有理数所成数列.令
Ch 11 函数项级数、幂级数 计划课时： 1 2 时 P 156—170 2005. 03.27 . Ch 11 函数项级数、幂级数 （ 1 2 时 ） § 1 函数项级数的一致收敛性（ 6 时 ） 一、函数列及极限函数：对定义在区间 I 上的函数列 ，介绍 概念：收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概 念. xf )}({ n 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ε − N ”定义. 例 1 对定义在 ∞− + ∞ ) , ( 内的等比函数列 xf )( n = n x , 用“ε − N ” 定义验证其收敛域为 − ] 1 , 1 ( , 且 n ∞→ lim xf )( n = n ∞→ lim n x = ⎩ ⎨ ⎧ = < . 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例 2 xf )( n = n sin nx . 用“ ε − N ”定义验证在 − ∞ + ∞ ) , ( 内 . n ∞→ lim xf )( n = 0 例 3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: n → ∞ ) ( . ⑴ xf )( n = xx xx nn nn − − + − . xf )( n → x,sgn x ∈R . ⑵ xf )( n = 12 1 n+ x . xf )( n → x,sgn x ∈R . ⑶ 设 ,,,, "" 为区间 上的全体有理数所成数列. 令 21 nrrr ] 1 , 0 [
x =r.I 0,x∈[0,11x≠F,12…J(x)→D(x) x∈[0,1] (4)f(x)=2n'xe- fn(x)→>0, x∈R 4′ 0≤x< G/()={2-4"x 1 x≤1 有∫(x)→0,x∈[0,1,(n→∞).(注意fn(x)dr=1.) 二.函数列的一致收敛性: 问题:若在数集D上fn(x)→>∫(x),(n→∞).试问:通项fn(x)的 解析性质是否必遗传给极限函数∫(x)?答案是否定的.上述例1、例 3(1)②)说明连续性未能遗传,而例3(3)说明可积性未能遗传.例3(4)(5)说明 虽然可积性得到遗传,但 r'SCxdrxajlim f,(Gx)ber 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初 等函数的一种手段.对这种函数, lim f,(x)就是其表达式.于是,由通 项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要.那末,在 什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢?一个充分条件就 是所谓“一致收敛”.一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛” 的结果 定义(一致收敛) 致收敛的几何意义 Th1(一致收敛的 Cauchy准则)函数列{/n}在数集D上一致收 敛,分VE>0,彐N,Vm,n>N, m-f 介绍
xf )( , n = ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ≠ = .,,, ] 1 , 0 [ , 0 ,,,, , 1 21 21 n n x rrrx rrrx " " 且 xf )( n → xD )( x∈ ] 1 , 0 [ . ⑷ xf )( . , n = 22 2 2 xn xen − xf )( n → 0 x ∈R . ⑸ xf )( n = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ − <≤ <≤ − − + . 1 2 1 , 0 , 2 1 2 1 ,42 , 2 1 0 ,4 1 1 1 x xx x x n n n nn n n 有 xf )( , n → 0 x ∈ ] 1 , 0 [ , n ∞→ ) ( . （ 注意 .） ∫ ≡ 1 0 dxxf 1)( n 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D 上 xf )( , n → xf )( n → ∞ ) ( . 试问: 通项 的 解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例 1、例 3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例 3⑶说明可积性未能遗传. 例 3⑷⑸说明 虽然可积性得到遗传, 但 xf )( n xf )( n ∞→ lim ( ) ∫ ∫ ∞→ ≠ 1 0 1 0 )(lim)( dxxfdxxf n n n . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初 等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通 项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在 什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就 是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛” 的结果. n ∞→ lim xf )( n 定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的 Cauchy 准则 ) 函数列 在数集 D 上一致收 敛, }{ n f ⇔ ε ∃>∀ , 0 N , ∀ > Nnm , , ⇒ <− ε nm ff . ( 介绍 156
另一种形式m-f< )(利用式|m-fm|sm-f+n-f) )易见逐点收敛.设limJ(x)=f(x) 有 f (x)-f,(x)< 令m→∞,→|fn(x)-f(x)|<E对x∈D成立,即 fn(x)二f(x),(n→∞),x∈D 系1在D上f二∫,(n→∞),分 limsup f,(x)-f(x)=0 系2设在数集D上∫n(x)→>f(x),(n→∞).若存在数列 {xn}cD,使|f(xn)-f(xn)|0,则函数列{n(x)}在数集D上 非一致收敛 应用系2判断函数列{n(x)}在数集D上非一致收敛时,常选xn为函 数Fn(x)=fn(x)-f(x)在数集D上的最值点 验证函数一致收敛性 例4f(x)=当.证明函数列{(x)}在R内一致收敛 例5fn(x)=2n2xemx.证明在R内f(x)→>0,但不一致收敛 证显然有fn(x)→0,|f(x)-f(x)|=Jn(x)在点xn=一一处 取得极大值|=√2me→0,、(n→∞),由系2,/() 不一致收敛 例6S(x) 1+n2x 证明在(-∞,+∞)内Sn(x)二0 n→
另一种形式 <− ε + npn ff .) 证 ⇒) ( 利用式 ffffff . mnm n −+−≤− ) ⇐) 易 见 逐 点 收 敛 . 设 n ∞→ lim xf )( n = xf )( , … … , 有 2 |)()(| ε m n xfxf <− . 令 m ∞→ , ⇒ ε ε <≤− 2 xfxf |)()(| n 对 ∀ x ∈ D 成立 , 即 xf )( , n ⎯⎯→ ⎯⎯→ xf )( n → ∞ ) ( ， x∈D. 系 1 在 D 上 f n ⎯ ⎯ ⎯→ ⎯→ f , n ∞→ ) ( ，⇔ − = 0|)()(|suplim∞→ xfxf n D n . 系 2 设在数集 D 上 xf )( , n → xf )( n → ∞ ) ( . 若存在数列 xn }{ ⊂ D , 使 − →/ 0 |)()(| nn n xfxf , 则函数列 在数集 D 上 非一致收敛 . xf )}({ n 应用系 2 判断函数列 在数集 D 上非一致收敛时, 常选 为函 数 ― 在数集 D 上的最值点. xf )}({ n n x n xF )( = xf )( n xf )( 验证函数一致收敛性: 例 4 xf )( n n sin nx = . 证明函数列 xf )}({ 在 R 内一致收敛. n 例 5 xf )( . 证明在 R 内 , 但不一致收敛. n 22 2 2 xn xen − = xf )( n → 0 证 显然有 xf )( , n → 0 xfxf |)()(| n − = n xf )( 在点 n x = 2n 1 处 取得极大值 02 2 1 2 1 ⎟ = →/ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ne n f n , n → ∞ ) ( . 由系 2 , 不一致收敛. xf )}({ n 例 6 22 1 )( n x x n xS + = . 证 明 在 ∞− + ∞ ) , ( 内 , . xS )( n ⎯⎯→ ⎯⎯→ 0 n ∞→ ) ( 157
证易见 lim s(x)=S(x)=0.而 Sn(x)-(x),|x|1.2n|x < 在(-∞,+∞)内 1+n2x22n1+(mx)2-2n 成立.由系1, 例7对定义在区间[0,1]上的函数列 2n2x 0≤x fn(x)=2n-2n X, i 5/= 2 <x<1 证明: lim f c(x)=0,但在[0,1]上不一致收敛 证0<x≤1时,只要n>x-,就有厂n(x)=0.因此,在(0,1]上 有f(x)= lim(x)=0.fn(0)=0,→f(0)= lim f(0)=0.于 是,在[0,1]上有∫(x)= lim f(x)=0.但由于 ma(x)-() 2n/-“》0,(n→∞),因此,该函数 列在[0,1]上不一致收敛 例8fn(x)=Sin 考查函数列{n(x)}在下列区间上的一致 收敛性:(1)[-l,l],(>0) 三.函数项级数及其一致收敛性 1.函数项级数及其和函数;∑u1(x),前n项部分和函数列{S1(x)} 收敛点,收敛域,和函数,余项 例9定义在(-∞,+∞)内的函数项级数(称为几何级数)
证 易见 n ∞→ lim = xSxS = .0)()( n 而 nx n xn xn n x xSxSn 2 1 )(1 ||2 2 1 1 || |)()(| 22 2 ≤ + ⋅= + =− 在 − ∞ + ∞ ) , ( 内 成立. 由系 1 , ⇒ …… 例7 对定义在区间 上的函数列 ] 1 , 0 [ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤< − ≤< = ≤≤ = . 1 1 , 0 ), , 2 , 1 ( , 1 2 1 ,22 , 2 1 0 , 2 )( 2 2 x n n n x n xnn n xn x xf n " 证明: , 但在 上不一致收敛. n ∞→ lim xf )( n = 0 ] 1 , 0 [ 证 x ≤< 10 时, 只要 > xn −1 , 就有 xf )( n = 0. 因此, 在 上 有 ] 1 , 0 ( xf )( = n ∞→ lim xf )( n = 0. = 0)0( n f , ⇒ f )0( = n ∞→ lim )0( n f = 0.于 是 , 在 ] 1 , 0 [ 上 有 xf )( = n→∞ lim xf )( n = 0 . 但 由 于 0 2 1 |)()(|max]1,0[ ⎟ = →/ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =− ∈ n n fxfxf n n x , n → ∞ ) ( ,因此 , 该函数 列在 ] 1 , 0 [ 上不一致收敛. 例 8 xf )( n = 12 sin 2 n + x . 考查函数列 在下列区间上的一致 收敛性: ⑴ xf )}({ n − lll > )0( , ] , [ ; ⑵ + ∞) , 0 [ . 三. 函数项级数及其一致收敛性: 1．函数项级数及其和函数：，∑ xu )( n , 前 n 项部分和函数列 ， 收敛点，收敛域, 和函数, 余项. xS )}({ n 例 9 定义在 ∞− + ∞ ) , ( 内的函数项级数( 称为几何级数 ) 158
xn=1+x+x2+…+x+… 的部分和函数列为Sn(x) (x≠1),收敛域为(-1,1) 2.一致收敛性:定义一致收敛性. Th2(achy准则)级数∑u1(x)在区间D上一致收敛,台 VE>0,N,Wn>N,Vp∈N,→ un(x)+ln2(x)+…+u n+p(x)|E对x∈D成立 系级数∑un(x)在区间D上一致收敛,→n(x)二0, Th3级数∑un(x)在区间D上一致收敛,台 R, (x)lim sup S(x)-S(x)=0 例10证明级数(-1) 在R内一致收敛 证今2(1)=( 则n→∞时 n lun(x)+um+2(x)+.+un+,(x)1= +x(=1)1≤ →0对Ⅴx∈R成立 n+1√n+1 例11几何级数∑x”在区间[-a,a1(0<a<1)上一致收敛;但在 (-1,1)内非一致收敛. 证在区间[-a,a]上,有 sup S,(x)-s(x)=sup
∑ +++++= "" ∞ = n n n xxxx 2 0 1 的部分和函数列为 ) 1 ( 1 1 )( ≠ − − = x x x xS n n , 收敛域为 − ) 1 , 1 ( . 2． 一致收敛性: 定义一致收敛性. Th2 ( Cauchy 准则 ) 级数 ∑ xu )( 在区间 D 上一致收敛, n ⇔ ε ∃>∀ ,0 N , >∀ ∀pNn ∈ N, , ⇒ )()(| |)( ε n+1 + n+2 +"+ + pn xuxuxu < 对∀x ∈D 成立. 系 级 数 ∑ 在区间 D 上 一 致收 敛 , , . xu )( n ⇒ un x)( ⎯⎯→ ⎯⎯→ 0 n ∞→ ) ( Th3 级数 在区间 ∑ xu )( D 上一致收敛, n ⇔ n ∞→ lim = ∈ n xR |)(|sup x D n ∞→ lim − = 0|)()(|sup∈ n xSxS x D . 例 10 证明级数∑ ∞ = − + − 1 2 1 ) 1( n n nx 在 R 内一致收敛 . 证 令 = un x)( nx n + − − 2 1 ) 1( , 则 n ∞→ 时 ≤ ++ − +− ++ =+++ + + + + | ) 1( 1 1 )()(| | |)( 2 1 2 1 2 nx pnx xuxuxu p n n " pn " 0 1 1 1 1 2 → + ≤ ++ ≤ nnx 对∀x ∈R 成立. …… 例 11 几何级数 ∑ 在区间 ∞ n=0 n x − aa ] , [ < a < )10( 上一致收敛；但在 − ) 1 , 1( 内非一致收敛. 证 在区间 − aa ] , [ 上 , 有 0 11 sup|)()(|sup ],[ ],[ → − = − − =− − − a a a x xSxS n n aa n aa , n → ∞ ) ( . ⇒ 159