Ch7定积分 计划课时:21时 P268-302 2002.02.13. Ch7定积分(21时) §1定积分的概念(2时) 背景 1.曲边梯形的面积 2.变力所作的功 3.函数的平均值 4.原函数的构造型定义:([P274-277) 二、定积分的定义 三、举例: 例1已知函数f()=x2在区间[0,61(b>0)上可积,用定义求积分jxtx 解取n等分区间[0,b]作为分法T,A=2.取5=x,=b,(≤≤m) x'dr-lim >x? Ax,=lim >ib Ax,=lim 5: (6 n→① b =lm n(n+1)(2n+1)= 由函数f(x)在区间[0,b]上可积,每个特殊积分和之极限均为该积分值
Ch 7 定 积 分 计划课时： 2 1 时 P 268—302 2002．02．13. Ch 7 定 积 分 （ 2 1 时 ） § 1 定积分的概念（ 2 时 ） 一、 背景： 1． 曲边梯形的面积: 2． 变力所作的功: 3． 函数的平均值: 4． 原函数的构造型定义: ( [1]P274—277 ) 二、 定积分的定义: 三、 举例: 例 1 已知函数 在区间 xf )( 上可积 . 用定义求积分 . 2 = x b ] , 0 [ b > )0( ∫ b dxx 0 2 解 取n 等分区间 作为分法 b ] , 0 [ T , n b xi =Δ . 取 , n ib x ξ ii == ≤ ≤ ni )1( . ∫ b dxx 0 2 = ∑ ∑ = = ∞→ ∞→ ⎟ Δ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =Δ n i n i i n ii n x n ib xx 1 1 2 2 lim lim ∞→ = n lim ∑= ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n i n b i 1 3 2 ∞→ = n lim ∑= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n i i n b 1 2 3 ∞→ = n lim 3 )12)(1( 6 1 3 3 b nnn n b ⎟ =++⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ . 由函数 在区间 上可积 xf )( b ] , 0 [ , 每个特殊积分和之极限均为该积分值
d x 例2已知函数f(x) 在区间[0,1上可积,用定义求积分 解分法与介点集选法如例1,有 =li lin 1+x al n t 上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分a 例3讨论 Dirichlet函数D(x)在区间[0,1]上的可积性 Ex p272 §2定积分存在的条件(3时) 必要条件: Th1f(x)∈R[a,b],→f(x)在区间[a,b]上有界 充要条件: 1.思路与方案 思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法T的“最大”和“最 小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且 与分法T及介点无关的条件 方案:定义上和S(7)和下和s(T).研究它们的性质和当7→0时有相同极限的充要 条件 2. Darboux和:以下总设函数f(x)在区间[a,b]上有界并设m≤∫(x)≤M,其中 m和M分别是函数f(x)在区间[a,b]上的下确界和上确界定义 Darboux和,指出 Darboux和未必是积分和但 Darboux和由分法T唯一确定分别用S(T)、s()和 ∑()记相应于分法T的上(大)和、下(小)和与积分和积分和∑(T)是数集(多值) 但总有s(T)≤∑()≤5(),因此有s(T)≤S(7) S()和S(T)的几何意义 3. Darboux和的性质:本段研究 Darboux和的性质,目的是建立 Darboux定理先用分点 集定义分法和精细分法:T≤T’表示T是T的加细
例 2 已知函数 xf )( 2 1 1 + x = 在区间 ] 1 , 0 [ 上可积 , 用定义求积分 ∫ + 1 0 2 1 x dx . 解 分法与介点集选法如例 1 , 有 ∫ + 1 0 2 1 x dx ∞→ = n lim ∑= ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n i n n 1 i 2 1 1 1 ∞→ = n lim ∑= + n i in n 1 22 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分 ∫ + 1 0 2 1 x dx . 例 3 讨论 Dirichlet 函数 在区间 xD )( ] 1 , 0 [ 上的可积性 . Ex P272 . § 2 定积分存在的条件（ 3 时 ） 一、 必要条件: Th 1 ( ] ) ∈ Rxf ,[ ba ，⇒ xf )( 在区间 ba ] , [ 上有界. 二、 充要条件: 1．思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法T 的“最大”和“最 小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且 与分法T 及介点ξ i 无关的条件 . 方案: 定义上和 )( 和下和 __ TS Ts )( . 研究它们的性质和当 T → 0 时有相同极限的充要 条件 . 2. Darboux 和: 以下总设函数 在区间 xf )( ba ] , [ 上有界. 并设 ≤ )( ≤ Mxfm , 其中 m 和 M 分别是函数 在区间 上的下确界和上确界 .定义 Darboux 和, 指出 Darboux 和未必是积分和 . 但 Darboux 和由分法T 唯一确定.分别用 、 xf )( ba ] , [ )( __ TS Ts )( 和 ∑ T)( 记相应于分法T 的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和∑ T)( 是数集(多值) . 但总有 Ts )( ≤ ∑(T) ≤ )( , 因此有 __ TS Ts )( ≤ )( __ TS . Ts )( 和 的几何意义 )( . __ TS 3. Darboux和的性质: 本段研究Darboux和的性质, 目的是建立Darboux定理.先用分点 集定义分法和精细分法: T ≤ T ′表示T ′是T 的加细 . 101
性质1若T≤T’,则s(T)≤s(T"),S(T)≥S(T").即:分法加细,大和不增,小和不 减.(证) 性质2对任何T,有m(b-a)≤S(T),M(b-a)≥s(7).即:大和有下界,小和有 上界.(证) 性质3对任何T1和T2,总有S(T)≤S(T2).即:小和不会超过大和 证(71)≤s(T+72)≤S(T1+72)≤S(T2) 性质4设T是T添加p个新分点的加细.则有 s(T)≤7)ss()+p(M-m)7‖ s(7)≥S(T)≥s(7)-p(M-m)7‖ 证设7是只在T中第i个区间[x1,x内加上一个新分点x所成的分法,分别设 M=supf(x),M2=supf(x),M=Supf(x).显然有m≤M1和 M,≤M,≤M.于是 0≤S(7)-S(71)=M1(x1-x1)-M1(x-x-1)-M2(x1-x) (M1-M1x-x-1)+(M1-M2)(x1-x)≤ D(x-x,-)+(M-m)(x-x)=(M-m)(x,-x-)s(M-m)T 添加p个新分点可视为依次添加一个分点进行p次.即证得第二式.可类证第一式 系设分法T有p个分点,则对任何分法T,有 S(T)-p(M-m)T‖sS(T),s(T+p(M-m)‖T|≥s(7) 证S(T)-p(M-m)‖IT‖≤S(T+T)≤S(T) s(T)+p(M-m)‖T‖≥s(T+7)≥s(T) 4.上积分和下积分:设函数f(x)在区间[a,b]上有界.由以上性质2,s(T)有上 界,S(T)有下界.因此它们分别有上确界和下确界 定义记[f(x)drx=infS(T) f(x)dx=sups(m).分别称和为函数 f(x)在区间[a,b]上的上积分和下积分
性质1 若T ≤ T ′ , 则 Ts )( ≤ Ts ′)( , . 即 : 分法加细, 大和不增,小和不 减 . ( 证 ) )( __ TS ≥ )( __ TS ′ 性质 2 对任何T , 有 − abm )( ≤ )( __ TS , − abM )( ≥ Ts )( . 即 : 大和有下界,小和有 上界. ( 证 ) 性质 3 对任何T1 和 T2 , 总有 )(Ts 1 ≤ )( 2 __ TS . 即: 小和不会超过大和 . 证 )(Ts 1 ≤ )( +TTs 21 ≤ )( 21 __ + TTS ≤ )( . 2 __ TS 性质 4 设T ′是T 添加 p 个新分点的加细. 则有 Ts )( ≤ Ts ′)( ≤ Ts )( + p − mM )( T , )( __ TS ≥ )( __ TS ′ ≥ )( __ TS −− )( TmMp . 证 设T1 是只在T 中第 i 个区间 内加上一个新分点 ] , [ 1 ii xx − x 所成的分法, 分别设 )(sup ],[ 1 1 M xf xxi− = , )(sup [ ], 2 = xfM i xx , )(sup ],[ 1 xfM ii xx i − = . 显然有 ≤ Mm 1 和 2 i ≤≤ MMM . 于是 1 iii −1 1 i−1 2 i −−−−−=−≤ xxMxxMxxMTSTS )()()()()(0 i 1 i−1 i 2 i xxMMxxMM ))(())(( ≤−−+−−= ))(())(())(( i−1 i −−=−−+−−≤ ii −1 xxmMxxmMxxmM −≤ )( TmM . 添加 个新分点可视为依次添加一个分点进行 次 p p . 即证得第二式. 可类证第一式. 系 设分法T ′有 p 个分点，则对任何分法T ，有 −− ≤ TSTmMpTS ′)( ||||)()( ， + − ≥ TsTmMpTs ′)( ||||)()( . 证 −− ≤ + ′ ≤ TSTTSTmMpTS ′)( )( ||||)()( . +≥−+ ′ ≥ TsTTsTmMpTs ′)( )( ||||)()( . 4. 上积分和下积分: 设函数 在区间 xf )( ba ] , [ 上有界. 由以上性质 2 ， Ts )( 有上 界 ， 有下界 )( . 因此它们分别有上确界和下确界. __ TS 定义 记 ∫ b a )( dxxf TS )(infT = , ∫ b a )( dxxf Ts )(sup T = . 分别称 ∫ b a 和 ∫ b a 为函数 xf )( 在区间 ba ] , [ 上的上积分和下积分. 102
对区间[a,b]上的有界函数f(x) 和存在且有限 并且对任 何分法T,有sT)s∫s∫sT) 上、下积分的几何意义 例1求∫,D(x)和Dx),其中DOx)是Diht函数 5. DarboUx定理: Th1设函数f(x)在区间[a,b]上有界,T是区间[a,b]的分法.则有 S(T)=f(x)dx s(T) f(x)d 证(只证第一式 要证 对VE>0,3δ>0,使当<d时有 0≤5()-广<0≤5-广是显然的,因此只证5(T)-∫ 广=infS(T),→对V6>0,彐T”,使(7)<广+5,”设有p个分点 对任何分法T,由性质4的系,有S()-p(M-m)S(7),由*)式,得 s(7)-p(M-m)四≤57)-+5 S(T)-P(M-m + 亦即S(7)-<2+p(M-m) 于是取δ (可设M>m,否则f(x)为常值函数,=S(7)对任何 2P(M-m) 分法T成立)对任何分法T,只要|<δ,就有 0≤S(T n)-了 此即1ims(m)=f(x)dx 6.可积的充要条件: Th2(充要条件1)设函数f(x)在区间[a,b]上有界.f(x)∈R[a,b]分 证→)设/()=1,则有把∑/(x)Ax=1即对>0,36>0,使当 103
对区间 ba ] , [ 上的有界函数 xf )( , ∫ b a 和 ∫ b a 存在且有限 , ∫ b a ≥ ∫ b a . 并且对任 何分法T , 有 Ts )( ≤ ∫ b a ≤ ∫ b a ≤ )( __ TS . 上、下积分的几何意义. 例 1 求 ∫ 1 0 )( dxxD 和 ∫ 1 0 )( dxxD . 其中 是xD )( Dirichlet 函数 . 5. Darboux 定理 : Th 1 设函数 xf )( 在区间 ba ] , [ 上有界 , T 是区间 ba ] , [ 的分法 . 则 有 0 lim T → )( __ TS = ∫ b a )( dxxf , 0 lim T → Ts )( = ∫ b a )( dxxf . 证 ( 只证第一式 . 要 证 : 对 ∀ε > ∃δ > , 0 , 0 使 当 T < δ 时 有 0 ≤ )( − __ TS ∫ b a < ε . 0 ≤ )( − __ TS ∫ b a 是显然的. 因此只证 )( − __ TS ∫ b a < ε . ) ∫ b a TS )(infT = , ⇒ 对 ε ∃>∀ , 0 T ′ , 使 )( < __ TS ′ ∫ b a *) , 2 ε + 设T ′ 有 p 个分点, 对任何分法T , 由性质 4 的系, 有 )( − __ TS p − mM )( T ≤ ,由* ) )( 式, 得 __ TS ′ )( − __ TS p − mM )( T ≤ )( < __ TS ′ ∫ b a , 2 ε + 即 )( − __ TS p − mM )( T < ∫ b a , 2 ε + 亦即 )( __ TS ∫ − b a < 2 + ε p − mM )( T . 于是取 − mMp )(2 = ε δ , ( 可设 > mM , 否则 为常值函数 xf )( , ∫ b a = 对任何 分法T 成立. ) 对任何分法T , 只要 )( __ TS T < δ , 就有 0 ≤ )( − __ TS ∫ b a ε ε ε =+< 22 . 此即 0 lim T → )( __ TS = ∫ b a )( dxxf . 6. 可积的充要条件: Th 2 （ 充要条件 1 ）设函数 在区间 xf )( ba ] , [ 上有界. xf )( ∈ baR ] , [ ⇔ ∫ b a = ∫ b a . 证 ⇒) 设 = ∫ b a )( dxxf I , 则有 0 lim T → ∑ Δ ii)( xxf = I . 即对∀ε > ∃δ > , 0 , 0 使当 103
卩<d时有 ∑f(x,)x,-1<5对V5,∈Ax,成立 在每个[x1,x]上取,使0≤M1-f()4b-于是 1s(7)-∑f()△x=∑(M -f())Ax.<E 因此,四<δ时有 1S(T)-157)∑(5)M+2(xA-12+26 此即 S(7)=1.由Dobx定理,→∫=1 同理可证 ∈)对任何分法T,有s(m)≤∑()≤S(),而 令和|的共值为,由双逼原理 2T)=1 Th3f(x)有界.f(x)∈R[a,b]分对VE>0,彐7,3S(7)-s(7)<E. 证→)f(x)∈R[a,b]→ S(T)-s(7))=0.即对 36>0,VT,|7<时,→0≤S(7)-s(T)< ∈)s()≤[≤「≤S(7),由3(T)-s()<s,→ 0≤ <E,→ 定义称O,=M1-m2为函数∫(x)在区间[x-1,x]上的振幅或幅度. 易见有O,≥0.可证O,=sup(x)-f(x”) Th3’(充要条件2)f(x)有界.f(x)∈R[a,b]对VE>0,彐7,3 O,4r Th3的几何意义及应用Th3'的一般方法:为应用Th3,通常用下法构造分法T:当函 数f(x)在区间[a,b]上含某些点的小区间上O作不到任意小时,可试用f(x)在区间
T < δ 时有 | ∑ Δ ii)( xxf − I | < 2 ε 对 ii ξ ∈∀ Δx 成立. 在每个 −1 xx ii ] , [ 上取ηi , 使 i −≤ fM ηi)(0 − ab )(2 < ε , 于是, | )( | = __ TS −∑ )( i f η i Δx ))( ( i i ∑ − fM η i Δx < 2 ε . 因此, T < δ 时有 | )( __ TS − I | ≤ | )( | + | __ TS −∑ )( i f ξ i Δx ∑ Δ ii)( xxf − I | < 2 ε + 2 ε = ε . 此即 0 lim T → )( __ TS = I . 由 Darboux 定理 , ⇒ ∫ b a = I . 同理可证 ∫ b a = I . ⇒ ∫ b a = ∫ b a . ⇐) 对任何分法T , 有 Ts )( ≤ ∑ T)( ≤ )( , 而 __ TS 0 lim T → Ts )( = ∫ b a = ∫ b a = 0 lim T → )( __ TS . 令 ∫ b a 和 ∫ b a 的共值为 I , 由双逼原理 ⇒ 0 lim T → ∑ T)( = I . Th 3 xf )( 有界. xf )( ∈ baR ] , [ ⇔ 对 ∀ε > ∃T ∋ , , 0 )( − __ TS Ts )( < ε . 证 ⇒) xf )( ∈ baR ] , [ ⇒ 0 lim T → ( )( − __ TS Ts )( ) = 0. 即 对 ε δ >∃>∀ , 0 , 0 , TT <∀ δ 时, ⇒ 0 ≤ )( − __ TS Ts )( < ε . ⇐) Ts )( ≤ ∫ b a ≤ ∫ b a ≤ )( __ TS , 由 )( − __ TS Ts )( < ε , ⇒ 0 ≤ ∫ b a – ∫ b a < ε , ⇒ ∫ b a = ∫ b a . 定义 称 ω i −= mM ii 为函数 在区间 上的振幅或幅度 xf )( ] , [ . 1 ii xx − 易见有ω i ≥ 0 . 可证ω i = .)()(sup ],[, 1 xfxf ii xxxx ′ − ′′ ∈ − ′′′ Th 3’ (充要条件 2 ) xf )( 有界. xf )( ∈ baR ] , [ ⇔ 对 ∀ε > ∃T ∋ , , 0 ∑ <Δ εω . iI x Th 3’ 的几何意义及应用 Th 3’的一般方法: 为应用 Th 3’, 通常用下法构造分法T :当函 数 xf )( 在区间 ba ] , [ 上含某些点的小区间上ω i 作不到任意小时, 可试用 在区间 (xf ) 104