第四节函数展开成幂级数 泰勒级数 巴二、函数展开成幂级数 巴三、小结思考题
庄一、泰勒级数 王上节例题∑-1)1=m(1+x)(1<xs1) n f(2(x-xy存在幂级数在其收敛 n=0 域内以x为和函数 问题:1.如果能展开,n是什么? 2展开式是否唯一? 3在什么条件下才能展开成幂级数? 王页下
一、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1 − = + − = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 = − = 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
中定理1如果函数f(x)在U(x)内具有任意阶导 上数,且在U(x)内能展开成(xx)的幂级数, 生即f(x)=∑4(x-x 生则其系数an=1r"o,)(m=012,-) n 且展开式是唯一的 王证明∵∑(x-x)”在(x收敛于(x)即 n=0 牛f(x)=a+a(x-x)+…+a(x-xn)+… 上页
证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n n − = f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 定 理 1 如果函数 f (x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 = − = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 且展开式是唯一的
逐项求导任意次得 f'(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan(x-x0)”+… ((x)=n!an+(n+1)n…3,2an+(x-x)+ 令x=x0,即得 an=,f((x0)(n=0,1,2,…)泰勒系数 工工 牛泰勒系数是唯一的,∫(x)展开式是唯一的 上页
f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 泰勒系数是唯一的, f (x)的展开式是唯一的. f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得 泰勒系数
定义如果f(x)在点x处任意阶可导则幂级数 0(x-x0)称为f(x)在点x的泰勒级数 n=0 ∑ f)(0) x称为f(x)在点x的麦克劳林级数 n=0 ni 问题f(9∑ f(x0) (x-x0) n-=0 n 泰勒级数在收敛区间是否收敛于fx)?不一定 上页
如果 f (x)在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) − = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f =0 ( ) ! (0) 称为 f (x)在点x0的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( ) − = = = 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定