湖南工业大学（株洲工学院）：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五节 全微分方程

二、积分因子法 定义:p(x,y)≠0连续可微函数,使方程 以(x,y)P(x,y)x+以(x,y)Q(x,y)l=0成为全 微分方程则称(x,y)为方程的积分因子 工工工 问题:如何求方程的积分因子? 上页

二、积分因子法 定义 : ( x, y)  0连续可微函数，使方程 (x, y)P(x, y)dx + (x, y)Q(x, y)dy = 0成为全 微分方程.则称( x, y)为方程的积分因子. 问题: 如何求方程的积分因子?

1.公式法:∵ a(up) a(uo) ay ax P uo+P=u Qo两边同除 t× ax 0lμ_P aIn u aP 80 ax ay dy ax 求解不容易 工工工 特殊地: a.当只与x有关时;=0, au du 小y ax dx 上页

1.公式法: , ( ) ( ) x Q y P   =      x Q x Q y P y P   +   =   +       两边同除， x Q y P y P x Q   −   =   −   ln  ln  求解不容易 特殊地: a.当只与x有关时; = 0,   y  , dx d x   =  

dIn u 1 aP aQ d o ay ax )=∫(x) ∴H(x)=e ∫f(x) b.当只与有关时:Q=0,Q=, ax 小y dhnp1QOP、 0)=8(y) 小 ,P ax a g(y)dy ∴(y)=e 上页

b.当只与y有关时; ( ) ln 1 x Q y P dx Q d   −    =  = f (x) ( ) . ( )   = f x dx  x e = 0,   x  , dy d y   =   ( ) ln 1 y P x Q dy P d   −    =  = g( y) ( ) . ( )   = g y dy  y e