二、函数的极值 定义设函数f(x)在x的某邻域有定义如果 对该邻域内的任何点x(x≠x),恒有 f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0), 就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值) 函数的极大值与极小值统称为极值使函数取 得极值的点称为极值点 Economic-mathematics 25-6 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 25 - 6 Wednesday, February 24, 2021 ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ( ) ( )), ( ), ( ) , 0 0 0 0 0 就 称 是函数 的一个极大值 或极小值 或 对该邻域内的任何点 恒 有 设函数 在 的某邻域有定义 如 果 f x f x f x f x f x f x x x x f x x 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取 得极值的点称为极值点. o x y o x y 0 x 0 x 二、函数的极值
二、函数的极值 定义设函数f(x)在x的某邻域有定义如果 对该邻域内的任何点x(x≠x,恒有 f(x)<f(o)(ef(x)>f(o)), 就称f(x0是函数f(x)的一个极大值(或极小值 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取 得极值的点称为极值点 J y=f(r) ax olx x Economic-mathematics 25-7 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 25 - 7 Wednesday, February 24, 2021 o x y a b y = f (x) x1 2 x x3 4 x 5 x 6 x ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ( ) ( )), ( ), ( ) , 0 0 0 0 0 就 称 是函数 的一个极大值 或极小值 或 对该邻域内的任何点 恒 有 设函数 在 的某邻域有定义 如 果 f x f x f x f x f x f x x x x f x x 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取 得极值的点称为极值点. 二、函数的极值
定理1(必要条件)设f(x)在点x处可导,且x是 f(x)的极值点,则必有f(x)=0 定义使导数为零的点(即方程f(x)=0的实根叫 做函数f(x)的驻点 注意:可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点 例如,y=x3,y1x=0=0,但x=0不是极值点 Economic-mathematics 25-8 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 25 - 8 Wednesday, February 24, 2021 设 f (x) 在 点 x0 处可导,且x0 是 f (x)的极值点,则必有 f (x0 ) = 0. 定理1(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = 注意: . ( ) , 但函数的驻点却不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但x = 0不是极值点
定理2(第一充分条件) (1)如果x∈(x0-8,x0),有f(x)>0;而x∈(x,x+8), 有∫(x)<0,则f(x)在处取得极大值 (2)如果x∈(x0-8,x0),有f(x)<0;而x∈(x0,x0+δ) 有f(x)>0,则f(x)在x处取得极小值 (3)如果当x∈(x0-,x)及x∈(x,x+0)时,∫(x) 符号相同,则f(x)在x处无极值 0 (是极值点情形) (不是极值点情形) Economic-mathematics 25-9 Wednesday, February 24, 202
Economic-mathematics 25 - 9 Wednesday, February 24, 2021 (1)如果 ( , ), 0 0 x x − x 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x x0 − x0 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符号相同,则 f (x)在x0处无极值. 定理2(第一充分条件) x y o x y x0 o 0 x + − − + (是极值点情形) x y o 0 x + − − + (不是极值点情形)