P(AB) 第一章随机事件和概率 分析: P(A B) P(B) P(A|BC·P(C)+P(A|BC)·P(C) Mr令P(AB P(A BC)P(B)P(C)+P(A BC)P(B)P(C) P(A BC)P(BC)+P(A BC)P(BC) P(ABC)+P(ABC) P(ABC+ ABC ). 证:由AB=ABC+ABC A>> P(AB)=P(ABC)+P(ABC) P(A BC)P(BC)+P(A BC)P(BC) =P(ABC)P(B)P(C)+P(ABCP(B)PC)→结论 E)下或巡回
上页 下页 返回 分析: = ( | ) = ( ) ( ) P A B P B P ABP(A| BC) P(C) + P(A| BC ) P(C ) P(AB) ( ). ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) P ABC ABC P ABC P ABC P A BC P BC P A BC P BC P A BC P B P C P A BC P B P C = + = + = + = + 证: 由 AB = ABC + ABC ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A BC P B P C P A BC P B P C P A BC P BC P A BC P BC P AB P ABC P ABC = + = + = + 结论. 第一章 随机事件和概率
第一章随机事件和概率 例4设X与Y相互独立,其中 X~B(3,),Y~N(1,4), 牛则概率Pmn(Xx,)2= 分析:设A=X≥I",B="Y≥I",则 Pimax(x,21=1-Pimax(X,Y)<1 =1-P{X<1,Y<I=1-P(AB) =1-[1l-P(A+B)=P(A+B) P(A)+P(B)-P(AB) =P(4)+P(B)-P(A)P(B) 上页)(下页)(返回
上页 下页 返回 例4 设X与Y相互独立,其中 ), ~ (1,4), 4 1 X ~ B(3, Y N 则概率 P{max(X,Y ) 1} = 分析: 设A ="X 1" ,B ="Y 1" ,则 ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 1 [1 ( )] ( ) 1 { 1, 1} 1 ( ) {max( , ) 1} 1 {max( , ) 1} P A P B P A P B P A P B P AB P A B P A B P X Y P AB P X Y P X Y = + − = + − = − − + = + = − = − = − 第一章 随机事件和概率
第一章随机事件和概率 而P(A)=P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0) 2737 1-(1-)=1 P(B)=P(Y≥1)= 6464 2 故P{max(X,)≥1}=P(A)+P(B)-P(A)P(B) 371371101 十 642642128 王注:1°Pmx(X,)s动}=PX≤n,Y≤动 2°P{min(X,Y)≥x}=P{X≥0,Y≥x} 3°P{max(X,)≥列}=PX≥z或Y≥x} °P{min(X,)≤孤}=P{X≤或y≤} E)下或巡回
上页 下页 返回 , 2 1 , ( ) ( 1) 64 37 64 27 ) 1 4 1 1 (1 ( ) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 0) 3 = − − = − = = = = = − = − = P B P Y 而P A P X P X P X . 128 101 2 1 64 37 2 1 64 37 1 {max( , ) 1} ( ) ( ) ( ) ( ) = + − = 故P X Y = P A + P B − P A P B 注: 4 {min( , ) } { }. 3 {max( , ) } { }; 2 {min( , ) } { , }. 1 {max( , ) } { , }; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P X Y z P X z Y z P X Y z P X z Y z P X Y z P X z Y z P X Y z P X z Y z = = = = 或 或 第一章 随机事件和概率
第一章随机事件和概率 例5有100个零件,其中90个一等品,10个二等 品,随机取2个安装在一台设备上,若2个零件中有 (i=0,1,2)个二等品则该设备的使用寿命服从参数 为λ=计1的指数分布试求: 1)设备使用寿命超过1的概率 (2)若已知该设备的使用寿命超过1,则安装 在该设备上的2个零件均为一等品的概率是多少? 解:设B=“任取两个零件中有二等÷=0,1,2 A=“设备的用寿命超过1”,X=“设备的使用寿命” 则X的密度函数为: ne n.x>0 f(r) λ=i+1,i=0,1,2. ,x≤0. 上页)(下页)(返回
上页 下页 返回 有100个零件,其中90个一等品,10个二等 品,随机取2个安装在一台设备上,若2个零件中有i (i=0,1,2)个二等品,则该设备的使用寿命服从参数 为=i+1的指数分布,试求: (1) 设备使用寿命超过1的概率; (2) 若已知该设备的使用寿命超过1,则安装 在该设备上的2个零件均为一等品的概率是多少? 例5 解:设Bi=“任取两个零件中有i个二等 品”, i=0,1,2 A=“设备的使用寿命超过1”,X=“设备的使用寿命”, 则X的密度函数为: 1, 0,1,2. 0, 0. , 0, ( ) = + = = − i i x e x f x x 第一章 随机事件和概率
2 c1,c界一素威机李乎 而P(B)=2,P(B1)=”021,P(B2)= 100 100 100 XP(AlB0)=P(X>1 B0)=edx=e P(AB1)=P(>1,)=2ed=e; P(A|B2)=P(X>11B2)=3e -3x dx=e (1)由全概率公式知: P4)=∑P(BP(4|B)≈0.32 i=0 (2)由贝叶斯公式知: P(BolA) P(ABo) P(BO)P(AI Bo ≈0.93 P(A) P(A) 上页)(下页)(返回
上页 下页 返回 ( ) , ( ) , ( ) . 2 100 2 1 0 2 2 100 1 1 0 1 9 0 2 1 100 2 9 0 0 C C P B C C C P B C C P B = 而 = = ( | ) ( 1| ) 3 . ( | ) ( 1| ) 2 ; ( | ) ( 1| ) ; 3 1 3 2 2 2 1 2 1 1 1 1 0 0 − + − − + − − + − = = = = = = = = = P A B P X B e dx e P A B P X B e dx e P A B P X B e dx e x x 又 x (1) 由全概率公式知: ( ) ( ) ( | ) 0.32. 2 0 = i= P A P Bi P A Bi (2) 由贝叶斯公式知: 0.93. ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) 0 0 0 0 = = P A P B P A B P A P AB P B A 第一章 随机事件和概率