《泛函分析》课程教学资源：第21讲 共轭算子与一、五线性泛函

第21讲共轭算子与一、五线性泛函 教学目的:掌握 Hilbert空间上几类常用算子的性质。 讲解要点 1 Hilbert空间上线性泛函与线性算子的表现定理, 2自伴算子的基本性质。 3酉算子与正常算子的概念与属性 定理1( Riesz表现定理)设H是 Hilbert空间 (1)Vy∈H,f(x)=(x,y)是H上的连续线性泛函并且 If=bl (4-3-1) (2)若∫是H上的连续线性泛函,则存在唯一的y∈H使得 f(x)=(x,y),Vx∈H 4-3-2) 证明1°设x1,x2∈H,a,B∈Φ,则 (ax1+fx2)=(ax1+x2,y) a(x,y)+B(x2,y)=a f(x)+B f(x2) ∫是线性的.又由不等式f(x)=(xy)≤|y,≤,f连续 若y=0,显然/=0=|y若y≠0,取x=y,则|f(y)=(y,y) pv,故≥(,=总之,|/=p 2°若∫=0,取y=0即可.若∫≠0,设E=N(),E是H 的闭极大真子空间,设H=E田E,E≠Q}取z∈E2,|=1

1 第 21 讲 共轭算子与一、五线性泛函 教学目的：掌握 Hilbert 空间上几类常用算子的性质。 讲解要点： 1 Hilbert 空间上线性泛函与线性算子的表现定理。 2 自伴算子的基本性质。 3 酉算子与正常算子的概念与属性。 定理 1 (Riesz 表现定理) 设 H 是 Hilbert 空间. (1) ∀y H ∈ , f (x) = (x, y)是 H 上的连续线性泛函并且 f = y . (4-3-1) (2) 若 f 是 H 上的连续线性泛函, 则存在唯一的 y ∈ H 使得 f (x) = (x, y), ∀x ∈ H (4-3-2) 证明 D 1 设 x1 , x2 ∈ H ,α, β ∈Φ , 则 ( ) 1 2 f αx + βx = ( , ) 1 2 αx + βx y = α ( x , y 1 )+ β ( x , y 2 ) =α ( )1 f x + β ( ) 2 f x . f 是线性的. 又由不等式 f (x) = (x, y) ≤ x y , f ≤ y , f 连续. 若 y = 0 , 显 然 f = 0 = y . 若 y ≠ 0 , 取 x = y , 则 f ( ) y = ( y, y) = 2 y , 故 f ≥ ( ) y y f = y . 总之, f = y . D 2 若 f = 0, 取 y = 0 即可. 若 f ≠ 0, 设 E = N( f ) , E 是 H 的闭极大真子空间 , 设 ⊥ H = E ⊕ E , ≠ {0} ⊥ E . 取 ⊥ z ∈ E , z = 1

则f()≠0,令y=f(),y∈E由于Wx∈H,x-/(S):∈E,于 0=( f(x) =(x,y)-(f(x):f(x)) f(二) y)-f(x)(=,=) (x,y)-f(x) 即f(x)=(x,y),x∈H,由还知道|/=y 若另有y'∈H使得∫(x)=(x,y),Vx∈H,则(x,y)=(x,y) vx∈H,即(x,y-y)=0,此时必有y=y 称定理1中的y为线性泛函∫的表现 记H上的连续线性泛函全体为H',定理1表明从集合论的观点 来看,H与H是相同的 定理2设H是 Hilbert空间,H'是H的共轭空间 (1)若映射T:H→H,T=y,其中y是∫的表现,则 T(a+B2)=a7(1)+Br(f),f1,f∈H',(4-32) T是到上的并且f∈H,阿= (Tf,7g)=(f,g),V1,g∈ (4-3-3) (3)若J是从H到H"的自然嵌入算子,J是到上的线性映 射 并且 vx∈H 通常称满足(4-3-2)的T是共轭线性的 明1°设T1=y1,72=y2,a,B∈Φ,则

2 则 f (z) ≠ 0 , 令 y = f (z)z , ⊥ y ∈ E . 由于 ∀x∈ H , z f z f x x ( ) ( ) − ∈ E ,于 是 0 = ( z f z f x x ( ) ( ) − , y ) = (x, y) − ( ( ) ( ) f x z f z , f (z)z) = (x, y) − f (x)(z,z) = (x, y) − f (x) 即 f (x) = (x, y), ∀x ∈ H , 由 D 1 还知道 f = y . 若另有 y H '∈ 使 得 f (x) = ( , ') x y , ∀x ∈ H , 则 (x, y) = ( , ') x y , ∀x ∈ H , 即 ( , ') 0, xy y − = 此时必有 y y = '. 称定理 1 中的 y 为线性泛函 f 的表现. 记 H 上的连续线性泛函全体为 * H , 定理 1 表明从集合论的观点 来看, H 与 * H 是相同的. 定理 2 设 H 是 Hilbert 空间, * H 是 H 的共轭空间. (1) 若映射 T H → H * : , Tf = y , 其中 y 是 f 的表现. 则 ( ) 1 2 T αf + βf = ( )1 αT f + ( ) 2 βT f , 1 ∀f , * f 2 ∈ H , (4-3-2) T 是到上的并且 * ∀ ∈f H , Tf = f . (2) (Tf ,Tg) = (,) f g , 1 ∀f , * g ∈ H . (4-3-3) (3) 若 J 是从 H 到 ** H 的自然嵌入算子, J 是到上的线性映 射 并且 Jx = x , ∀x ∈ H . 通常称满足(4-3-2)的 T 是共轭线性的. 证 明 D 1 设 1 1 Tf = y , 2 2 Tf = y , α, β ∈Φ , 则 ∀x∈ H

f(x)=(x,y1),f2(x)=(x,y2).于是 (cf1+2)(x)=af(x)+Bf2(x) =a(x,y)+B(r,y2)=(x, ay,+By2) 即T(a+B2)=ay1+By2=a(f1)+B(2)由定理1知道T是到上 的并且|7==f,∈F 2 B T(+8=f+gl,T(f-g=f-8 Re(T, Tg)=7u+g -(-gP =f+g|-f-8]=Re(,g) 将∫换为矿,则 Re(Tif, tg)=Re(if, g) 又由T的共轭线性(,7g)=(Tjf,Tg).所以 Im(t, Tg)=Re(tif, Tg)=Re(if, g)=-Im(, g) 从而 (, 1g)=(,g f,g∈H 3°设J是从H到H的自然嵌入算子,则Vx∈H, Jx(y)=y(x),Vy∈H 若x1,x2∈H,a,B∈④,则 J(ax1+x2)(y)=y(a1+x2) =a(x)+By(x2)=ax, (y)+ Bx2y (ax,+ Rx,)(y) y是任意的.故J(ax1+x2)=akx1+Bx2 vx”∈H”,由定理1,存在y∈H”,使得x”(∫)=(f,y)

3 ( ) 1f x = ( , )1 x y , ( ) 2 f x = ( , ) 2 x y . 于是 ( 1 2 αf + βf )( x )=α ( ) 1f x + β ( ) 2 f x =α ( , )1 x y + β ( , ) 2 x y = ( x, 1 2 αy + β y ). 即 ( ) 1 2 T αf + βf = 1 2 αy + β y = ( )1 αT f + ( ) 2 βT f .由定理 1 知道 T 是到上 的并且 Tf = y = f , * ∀ ∈f H . D 2 由 T( f + g) = f + g , T( f − g) = f − g , 则 Re (Tf ,Tg) = [ ( ) ( ) ] 4 1 2 2 T f + g − T f − g = [ ] 4 1 2 2 f + g − f − g = Re ( f , g). 将 f 换为 if , 则 Re (Tif ,Tg) = Re (if , g) . 又由 T 的共轭线性 (Tf ,Tg) = i(Tif ,Tg). 所以 Im (Tf ,Tg) = Re (Tif ,Tg) = Re (if , g) = − Im ( f , g). 从而 (Tf ,Tg) = ( f , g) , ∀f , * g ∈ H . D 3 设 J 是从 H 到 ** H 的自然嵌入算子, 则 ∀x ∈ H , Jx( y) = y(x), * ∀y ∈ H . 若 x1 , x2 ∈ H ,α, β ∈Φ , 则 ( ) 1 2 J αx + βx ( y) = ( ) 1 2 y αx + βx = ( ) ( ) 1 2 αy x + βy x = ( ) ( ) 1 2 αJx y + βJx y = ( )( ) 1 2 αJx + βJx y y 是任意的. 故 ( ) 1 2 J αx + βx ＝ 1 2 αJx + βJx 。 x H ∗∗ ∗∗ ∀ ∈ ，由定理 1，存在 ∗ ∗ y ∈ H ，使得 ( ) ( , ) ∗∗ ∗ x f = f y

∈H并且|=若T是中的映射,不妨设=x,由2 x"(f)=(f,y)=(Ty,m)=f(x) 故x=x"。J是到上的并且 A=|x=p=|= 定理得证 这里注意T:H→H是共轭线性的但不是线性的.因此按照线 性同构的观点来看,当Φ是复空间时,H·≠H.尽管H与H之间存 在一一的到上的映射.另一方面,定理2(3)与我们关于一致凸空间 的结论是一致的,即 Hilbert空间是自反空间,从而 Hilbert空间的闭 单位球是O紧的等等 定义1设H是 Hilbert空间,:H×H→Φ是一映射 (1)称φ是一、五线性的,若Vx,y,=∈H,a,B∈Φ p(ax+B,=)=ap(x,=)+B(y,-) q(x,ay+)=aq(x,y)+B(x,).(4-3-5 (2)称φ是对称(或 Hermite)的,若g(x,y)=(y,x) (3)称φ是有界的,若存在C>0, lq(x,y)Cy,xy∈H 此时记其范数为 lo=sup( p(x,y)1: -l,bv<1; (4-3-5) 下面定理可以看成有界一、五线性泛函的表现定理 定理3设H是 Hilbert空间,则φ:H×H→Φ是有界一、五线 性泛函当且仅当存在T∈B(H),使得 x,y)=(Tx,y)Vx,y∈H (4-3-6) 此时有|pl=|r‖

4 * ∀f ∈ H 并且 ∗∗ ∗ x = y 。若 T 是 D 1 中的映射，不妨设 Ty = x ∗ ，由 D 2 ， ( ) ( , ) ∗∗ ∗ x f = f y ＝ (Ty ,Tf ) ∗ = f (x) . 故 ∗∗ Jx = x 。 J 是到上的并且 ∗∗ Jx = x ＝ ∗ y ＝ ∗ Ty ＝ x . 定理得证. 这里注意 T H → H ∗ : 是共轭线性的但不是线性的. 因此按照线 性同构的观点来看，当 Φ 是复空间时，H ≠ H ∗ . 尽管 ∗ H 与 H 之间存 在一一的到上的映射. 另一方面，定理 2（3）与我们关于一致凸空间 的结论是一致的，即 Hilbert 空间是自反空间，从而 Hilbert 空间的闭 单位球是 ω 紧的等等. 定义 1 设 H 是 Hilbert 空间,， ϕ : H × H → Φ 是一映射. (1) 称 ϕ 是一、五线性的，若 ∀x, y,z ∈ H ，α, β ∈Φ ， ϕ(αx + βy,z) ＝αϕ(x,z)＋ βϕ( y,z) ϕ(x,αy + βz) ＝αϕ(x, y) ＋ βϕ(x,z) . （4-3-5） (2) 称 ϕ 是对称（或 Hermite）的，若 ϕ(x, y) ＝ ϕ( y, x). (3) 称 ϕ 是有界的，若存在 C > 0 ， |ϕ(x, y) |≤ C x ⋅ y ， ∀x, y ∈ H . 此时记其范数为 ϕ ϕ = ≤≤ sup{| ( , ) |: 1, 1} xy x y . （4-3-5） 下面定理可以看成有界一、五线性泛函的表现定理. 定理 3 设 H 是 Hilbert 空间, 则 ϕ : H × H → Φ 是有界一、五线 性泛函当且仅当存在 T ∈ B(H) ，使得 ϕ(x, y) = (Tx, y) ∀x, y ∈ H . （4-3- 6） 此时有 ϕ = T

明充分性.设T∈B(H),记o(x Vx.v,z∈ B∈Φ (a+的,2)=(T(ax+y),=) (Tx,-)+B(7y,2)=aqp(x,)+Pp(y,=) q(x,a+)=(x,a+f)=a(x,y)+Bp(x,=), lo(x,y)=(x,y≤7xpy≤7时xy 于是≤.g是有界的 必要性.若(x,y)是有界一、五线性的,Vx∈H,令 f(y)=(x,y),Vy∈H是H上的连续线性泛函.实际上,由定义 (y)=l(x,y)≤|ply 由定理1,存在z∈H使得f(y)=(y,2).记T:H→H,Tx=,则 方面 (Tx, y)=(,y)=(, )=f()=p(x, y),Vx,yEH 另一方面,若Tx≠0,令y=1x,则 ITxl=\x (Tx, Tx) 故|7≤|p T是由φ唯一决定的.实际上,若另有T1使得 (Tx,y)=o(x,y)=(Ix, y),x,yEH 则由y的任意性,必有Tx=Tx,再由x的任意性得到T=T.最后由 上面证明知道= 定理4设H是 Hilbert空间,则ⅤA∈B(H),存在唯一的 B∈B(H)使得

5 证 明 充分性 . 设 T ∈ B(H) , 记 ϕ(x, y) = (Tx, y) ， 则 ∀x, y,z ∈ H ，α, β ∈Φ ， ϕ(αx + βy,z) = (T(αx + βy),z) =α(Tx,z) + β (Ty,z) =αϕ(x,z) + βϕ( y,z) . ϕ(x,αy + βz) = (Tx,αy + βz) =αϕ(x, y) + βϕ(x,z) , 由于 ϕ(x, y) = (Tx, y) ≤ Tx y ≤ T x y . 于是 ϕ ≤ T . ϕ 是有界的. 必要性 . 若 ϕ(x, y) 是有界一、五线性的 , ∀x∈ H , 令 f ( y) =ϕ(x, y) ， ∀y ∈ H 是 H 上的连续线性泛函. 实际上, 由定义 f ( y) = ϕ(x, y) ≤ ϕ x y . 由定理 1, 存在 z ∈ H 使得 f ( y) = ( y,z) . 记 T : H → H , Tx = z , 则一 方面 (Tx, y) = (z, y) = ( y,z) = f ( y) =ϕ(x, y), ∀x, y ∈ H . 另一方面, 若 Tx ≠ 0 , 令 Tx Tx y = , 则 Tx = Tx (Tx,Tx) = x Tx Tx x x (T( ), ) = x Tx Tx x x ϕ( , ) ≤ ϕ x 故 T ≤ ϕ . T 是由 ϕ 唯一决定的. 实际上, 若另有 T1使得 ( , ) 1 T x y =ϕ(x, y) = (Tx, y) , ∀x, y ∈ H . 则由 y 的任意性, 必有 T x1 = Tx , 再由 x 的任意性得到 T1 = T . 最后由 上面证明知道 T = ϕ . 定 理 4 设 H 是 Hilbert 空 间 , 则 ∀A BH ∈ ( ) , 存在唯一的 B ∈ B(H) 使得