《泛函分析》课程教学资源：第五章 有界线性算子的谱理论

第五章有界线性算子的谱理论 线性算子的谱理论是与解算子方程緊密联系的,它起源于代数方 程、线性方程组、积分方程和微分方程的特征值问题.实际上在泛函 分析产生的早期, Volterra、 Fredholm、 Hilbert等人就曾研究过这 样的问题,同时它也是泛函分析中经久不衰的研究课题.本章首先讨 论算子的正则性和谱的概念及其基本性质,然后着重叙述 Riesz- Schauder关于紧算子的谱论和 Hilbert空间上自伴算子的谱 论,最后介绍谱系和谱分解问题. 第22讲有界线性算子的谱 教学目的:介绍有界线性算子谱的概念及谱的相 关性质。 讲解要点: 算子的正则性与谱的定义、谱集的分类 谱半径公式,谱集的拓扑属性。 3了解凸包与张成的子空间的概念与属性。 设X是线性赋范空间,B(X)是X上全体有界线性算子构成的空 间,我们已经知道B(X)是线性赋范空间.实际上,在B(X)中还可以 引进另一种运算一一算子的乘法 对于两个算子AB∈B(x),规定

1 第五章 有界线性算子的谱理论 线性算子的谱理论是与解算子方程紧密联系的，它起源于代数方 程、线性方程组、积分方程和微分方程的特征值问题. 实际上在泛函 分析产生的早期, Volterra、Fredholm、Hilbert 等人就曾研究过这 样的问题, 同时它也是泛函分析中经久不衰的研究课题. 本章首先讨 论算子的正则性和谱的概念及其基本性质，然后着重叙述 Riesz-Schauder 关于紧算子的谱论和 Hilbert 空间上自伴算子的谱 论，最后介绍谱系和谱分解问题. 第 22 讲 有界线性算子的谱 教学目的：介绍有界线性算子谱的概念及谱的相 关性质。 讲解要点： 1 算子的正则性与谱的定义、谱集的分类。 2 谱半径公式，谱集的拓扑属性。 3 了解凸包与张成的子空间的概念与属性。 设 X 是线性赋范空间， Β(X )是 X 上全体有界线性算子构成的空 间，我们已经知道 Β(X )是线性赋范空间. 实际上，在 Β(X )中还可以 引进另一种运算——算子的乘法. 对于两个算子 AB BX , ( ), ∈ 规定

AB(x)=A(B(x),Vx∈X 这种运算满足 A(BC)=(AB)C A(B+C)=AB+ AC (A+B)C=AC +BC, k(AB)=(kA)B=A(kB),k∈Φ 以表示单位算子,则A=MA=A.若‖‖是B(X)上的范数,则 ‖AB‖≤‖A‖‖B‖,A,B∈B(X) 由于B(X)中能够引进乘法运算并且具有以上性质,我们称B(X)是 个赋范代数,称I为单位元若B(X)还是完备的,则称其为 Banach 代数 Banach代数的概念也可以完全公理式地加以定义.不过,本质 上说来,任何一个 Banach代数都可以看成某个空间上的算子代数 前面几章我们已经接触过逆算子的概念,并且知道当A是线性算 子时,若A-存在,则A也是线性算子.现在我们将从B(X)中元素 的角度进一步考察逆算子 定义1称A∈B(X)是正则算子,若A是到上的,A存在并 且是有界算子 定理1设X是 Banach空间,A∈B(X),则以下条件等价: (1)A是正则算子 (2)存在B∈B(X),AB=BA=1.此时B即是A1 (3)A是到上的并且存在a>0,‖Ax|a‖xl,vx∈X (4)A是一一的到上的 证明(1)→(2).若A是正则算子,A存在并且

2 AB(x) = A(B(x)), ∀x∈ X. 这种运算满足 A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC ， (A + B)C = AC + BC ， k(AB) = (kA)B = A(kB)， k ∈Φ . 以 I 表示单位算子，则 AI = IA = A. 若 || || ⋅ 是 Β(X )上的范数，则 || AB|| ||A|| ≤ || B ||， ∀A, ( ), B BX ∈ 由于 Β(X )中能够引进乘法运算并且具有以上性质，我们称 Β(X )是一 个赋范代数, 称 I 为单位元. 若 Β(X ) 还是完备的, 则称其为 Banach 代数. Banach 代数的概念也可以完全公理式地加以定义. 不过, 本质 上说来, 任何一个 Banach 代数都可以看成某个空间上的算子代数. 前面几章我们已经接触过逆算子的概念，并且知道当 A 是线性算 子时，若 −1 A 存在，则 −1 A 也是线性算子. 现在我们将从 Β(X )中元素 的角度进一步考察逆算子. 定义 1 称 A∈ Β(X ) 是正则算子，若 A 是到上的， −1 A 存在并 且是有界算子. 定理 1 设 X 是 Banach 空间， A∈ Β(X ) ，则以下条件等价： (1) A 是正则算子. (2) 存在 B ∈ Β(X ) ， AB = BA = I . 此时 B 即是 −1 A . (3) A 是到上的并且存在 α > 0， || Ax ||≥ α || x || , ∀ ∈x X. (4) A 是一一的到上的. 证 明 (1) ⇒ (2). 若 A 是正则算子， −1 A 存在并且

A-∈B(X),取B=A-1,则AB=BA=I 2)→(3).实际上Vx∈X,令y=Ax.由BA=Ⅰ知道 By=BAx=x,于是 x‖=‖By‖s≤‖B‖‖y‖=‖B‖‖Ax‖ 又由1圳Is‖A‖‖B‖知道‖B|≠0.取‖Bl=a,则从上式得到 ‖Ax| ∥Bx|a‖x,vx∈x 由AB=I知道A是到上的 (3)→(4).若Ax=0知道x=0,故N(A)={0} (4)→(1).由N(A)={0)}知A是一一的,于是A存在,又A到 上,根据逆算子定理知A∈B(X) 定理2设A,B∈B(X) (1)若A是正则算子,则A是正则算子并且(4-)-1=A (2)若A,B是正则算子,则AB是正则算子并且 (AB)=B-A (3)若A是正则算子,则A是正则算子并且(A)=(4-) 证明1°A正则,故A∈B(X)并且A4-=A-A=1.由于 A∈B(X),从定理1(2)知A正则并且A=(A-) 2°由正则性的定义,A,B-∈B(X),并且 AA-=A-A=1,BB-=B-B=1, 于是 (B-A-)(AB)=B(A-AB=B-B=I (ABB A=A(BB)A =AA=I 故AB正则并且(AB)=BA 3°由A∈B(X),故(A-)存在并且(A)∈B(X)

3 ( ) 1 A ∈ Β X − ，取 −1 B = A , 则 AB = BA = I . (2) ⇒ (3). 实际上 ∀x ∈ X , 令 y = Ax . 由 BA = I 知 道 By = BAx = x ,于是 || || || || || || x = ≤ By B || || || || y B = || Ax || 又由1 || || || || = ≤ I A || B || 知道 || B ||≠ 0 . 取 1 || || B α − = , 则从上式得到 || || || || || || 1 || || x x B Ax ≥ = α , ∀x∈ X . 由 AB = I 知道 A 是到上的. (3)⇒(4). 若 Ax = 0知道 x = 0, 故 N(A) = {0}. (4) ⇒(1). 由 N(A) = {0}知 A 是一一的,于是 −1 A 存在, 又 A 到 上, 根据逆算子定理知 ( ) 1 A ∈ Β X − . 定理 2 设 A, B ∈ Β(X ) . (1) 若 A 是正则算子, 则 −1 A 是正则算子并且 A = A −1 −1 ( ) . (2) 若 A, B 是正则算子，则 AB 是正则算子并且 1 1 1 ( ) − − − AB = B A . (3) 若 A 是正则算子, 则 * A 是正则算子并且 * 1 1 * ( ) ( ) − − A = A . 证明 D 1 A 正则，故 ( ) 1 A ∈ Β X − 并且 AA = A A = I −1 −1 . 由于 A∈ Β(X ) ，从定理 1(2)知 −1 A 正则并且 1 1 ( ) − − A = A . D 2 由正则性的定义， , ( ) 1 1 A B ∈ Β X − − ，并且 AA = A A = I −1 −1 ， BB = B B = I −1 −1 ， 于是 B A AB = B A A B = B B = I −1 −1 −1 −1 −1 ( )( ) ( ) . AB B A = A BB A = AA = I −1 −1 −1 −1 −1 ( )( ) ( ) . 故 AB 正则并且 1 1 1 ( ) − − − AB = B A . D 3 由 ( ) 1 A ∈ Β X − ，故 1 * ( ) − A 存在并且 ( ) ( ) 1 * * A ∈ Β X −

又AA=AA=Ix,于是对两边取共轭得到 A'(4-)=(A-)A=I=I 故(A)=(A) 以下我们就复空间进行讨论.这是为了充分应用复解析函数的 优越性质 注意对于赋范代数B(X),关于算子A的多项式 +a,A+ 总是有意义的.甚至若干个算子的(多元)多项式也是有意义的同时 算子幂级数∑an"(=D)的收敛性乃至算子函数f()的解析性 都可以加以定义.例如表达式 ∑,sinA=∑(-1) 等在范数收敛意义下都代表B(x)中的元素.下面定理中出现的多项 式和幂级数也是如此的 定理3( von neumann)设X是 Banach空间,A∈B(X),A∈C 若‖A‖<|A|,则石-A是正则算子 证明令B=f 打m,不妨设∥ =a,则0≤a<1并且 Bn|∑ A ≤ -|A|(1-a)|A|-‖A‖ 于是Bn∈B(X).对于每个x∈X,若m>n,则 A ‖Bnx-Bnx|‖ A|-‖!Al ‖x‖→0,(m,n→∞) {Bnx}是 Cauchy序列,故 limb x存在.由 Banach- Steinhaus定理, 存在B∈B(X),使得

4 又 X AA = A A = I −1 −1 ，于是对两边取共轭得到 * * 1 * 1 * * * ( ) ( ) X X A A = A A = I = I − − . 故 * 1 1 * ( ) ( ) − − A = A . 以下我们就复空间进行讨论. 这是为了充分应用复解析函数的 优越性质. 注意对于赋范代数 Β( ) X , 关于算子 A 的多项式 0 1 n n aI aA aA + ++ " 总是有意义的. 甚至若干个算子的(多元)多项式也是有意义的. 同时 算子幂级数 0 ( ) n o n n aA A I ∞ = ∑ = 的收敛性乃至算子函数 f ( ) A 的解析性 都可以加以定义. 例如表达式 2 1 0 0 , sin ( 1) ! (2 1)! n n A n n n A A e A n n ∞ ∞ + = = = =− + ∑ ∑ 等在范数收敛意义下都代表 Β( ) X 中的元素. 下面定理中出现的多项 式和幂级数也是如此的. 定理 3(von Neumann) 设 X 是 Banach 空间， A∈ Β(X ) , λ ∈C , 若 || || | | A < λ ，则 λI − A是正则算子. 证明 令 ∑= + = n i i i n A B 0 1 λ ，不妨设 α λ = | | || A || ，则 0 ≤ α < 1并且 ∑ ∑= + = + ≤ ≤ n i i n i i i i n A A B 0 1 0 1 | | || || | | || || || || λ λ | | (1 ) 1 λ −α ≤ | | || || 1 − A = λ . 于是 B (X ) n ∈ Β . 对于每个 x ∈ X ，若 m > n，则 || || || || 1 1 x A B x B x m i n i i m n ∑= + + − ≤ λ || || | | || || 1 x A n − ≤ + λ α → →∞ 0, ( , ) m n {B x} n 是 Cauchy 序列，故 B xn n→∞ lim 存在. 由 Banach-Steinhaus 定理， 存在 B ∈ Β(X ) ，使得

lim x=Bx,Vx∈X (5-1-1) 又A∈B(X),故M-A∈B(X).对于每个x∈X, (1-A)Bx=lim(1-A)B,x =im(-4 A n+1 an+)x=Ix 即(a-A)B=1 另一方面,在式(5-1-1)中,以(-A)x代替x,则 B(l-A)x=lim( )(-A) =m(A∑2)x lim(I )x=lx 即B(AI-A)=1 由定理1(2)知,M-A是正则算子并且B=(4-A).换句话 ,在算子的点点收敛(实际上也可证明在范数收敛)意义下 (-4)-=∑ 由 Banach- Steinhaus定理的结论还知道 (-4)H= B Slime,-A‖ 定理3的结论使得算子A-A的正则性与复平面上的点联系起

5 B x Bx n n = →∞ lim , ∀x∈ X . (5-1-1) 又 A∈ Β(X ) ，故 λI − A∈ Β(X ) . 对于每个 x ∈ X ， I A Bx I A B xn n ( − ) = lim( − ) →∞ λ λ x A I A n i i i n lim( )( ) 0 ∑ 1 = + →∞ = − λ λ x A A n i i n i i i i n lim( ) 0 1 1 0 ∑ ∑= + + = →∞ = − λ λ x Ix A I n n n = − = + + →∞ lim( ) 1 1 λ 即 (λI − A)B = I . 另一方面，在式(5-1-1)中，以 (λI − A)x 代替 x ，则 I A x A B I A x n i i i n ( ) lim( )( ) 0 1 − = ∑ − = + →∞ λ λ λ x A A n i i n i i i i n lim( ) 0 1 1 0 ∑ ∑= + + = →∞ = − λ λ x Ix A I n n n = − = + + →∞ lim( ) 1 1 λ 即 B(λI − A) = I . 由定理 1(2)知， λI − A 是正则算子并且 1 ( ) − B = λI − A . 换句话 说，在算子的点点收敛(实际上也可证明在范数收敛)意义下 ∑ ∞ = + − − = 0 1 1 ( ) n n n A I A λ λ (5-1-2) 由 Banach-Steinhaus 定理的结论还知道 || ( ) || || || 1 I − A = B − λ | | || || 1 lim || || A Bn n − ≤ ≤ →∞ λ 定理 3 的结论使得算子 λI − A的正则性与复平面上的点联系起