第四章 Hilbert空间的几何学 在第一章中我们已介绍了内积空间的公理系统并给出过内积空间 的例子.内积空间是一种特殊的线性赋范空间,因此对于一般赋范空 间成立的那些结论对于内积空间也是适用的.但由于内积空间具有 “内积”这种结构,使得它有着比一般赋范空间更为特殊的性质.本章 将叙述这些特殊性质:正交基的存在性、正交投影以及空间上线性泛 函和算子的特殊表现形式. Hil ber t空间的理论已广泛地应用于许多 学科和学科分支中去,例如在量子力学,概率论, Fourier分析 调和分析等学科中就是如此,近年来蓬勃发展的小波分析理论也是置 根于 Hilber t空间基本理论的 第19讲Hi1bert空间的正交基 教学目的:掌握由内积结构导致的Hi1bert空间的特殊性 讲解要点 1、正交集合的基本属性,Be88e1不等式 2、 Hilbert空间中元素的 Fourier展开 3、正交基底 4、可分H1bert空间与P2等距同构 定义1设H是内积空间,(,)是其中的内积 (1)若x,y∈H,(x,y)=0,则称x与y正交,记为x⊥y.若 M,NcH并且x∈M,y∈N,(x,y)=0,则称M与N正交,记为 M⊥N.当M={x时记为x⊥N (2)称EcH为正交集,若任意x,y∈E,x≠y,则x⊥y.若
1 第四章 Hilbert 空间的几何学 在第一章中我们已介绍了内积空间的公理系统并给出过内积空间 的例子.内积空间是一种特殊的线性赋范空间， 因此对于一般赋范空 间成立的那些结论对于内积空间也是适用的. 但由于内积空间具有 “内积”这种结构，使得它有着比一般赋范空间更为特殊的性质 .本章 将叙述这些特殊性质：正交基的存在性、正交投影以及空间上线性泛 函和算子的特殊表现形式.Hilbert 空间的理论已广泛地应用于许多 学科和学科分支中去，例如在量子力学，概率论， Fourier 分析， 调和分析等学科中就是如此.近年来蓬勃发展的小波分析理论也是置 根于 Hilbert 空间基本理论的. 第 19 讲 Hilbert 空间的正交基 教学目的：掌握由内积结构导致的 Hilbert 空间的特殊性 质。 讲解要点： 1、正交集合的基本属性，Bessel 不等式。 2、Hilbert 空间中元素的 Fourier 展开。 3、正交基底。 4、可分 Hilbert 空间与 2 l 等距同构。 定义 1 设 H 是内积空间， (,) ⋅ ⋅ 是其中的内积. (1) 若 xy H xy , , ( , ) 0, ∈ = 则 称 x 与 y 正 交 , 记 为 x ⊥ y . 若 M , N ⊂ H 并且 ∀x ∈ M , y ∈ N , ( , ) 0, x y = 则称 M 与 N 正交, 记为 M ⊥ N . 当 M = {x}时记为 x ⊥ N , . (2) 称 E ⊂ H 为正交集, 若任意 x, y ∈ E, x ≠ y, 则 x ⊥ y . 若
此外(x,x)=1,VxE,称E为规范正交集 容易知道,x⊥y则y⊥x,x⊥x当且仅当x=0.对于任意集合 M,N=H,若M⊥N,则M⌒NcO0 定理1设H为内积空间,EcH为正交集则对于E中任意有限 多个元x1…xn和a1…On∈Φ, ax+a2x2+…+anx1|≤a1|x+…+a1|x 从而若E不包含0元,E是线性无关集 证明由正交性 ax+…+anxn=(a1x+…+anx,a1x+…+anx) ∑(a1x1ax) a|2|+*…+kan}n 当x,≠0(=1,…n)时,若a1…,an不全为0,则|ax+…+anx 0 定理2设H是内积空间,EcH是规范正交集,x∈H,则 (1)对于任一组e1,…en∈E, xe)≤ (2)数集{x,e):e∈E}中至多有可数多个不等于0 证明1°设x=∑(x,e)e,则 0<x-x=(x-xm, x-x,) (x, x,)-(xn,x)
2 此外 (,) 1 x x = ,∀x ∉ E, 称 E 为规范正交集. 容易知道, x ⊥ y 则 y ⊥ x , x ⊥ x 当且仅当 x = 0 . 对于任意集合 M , N ⊂ H , 若 M ⊥ N , 则 M N ∩ ⊂ {0}. 定理 1 设 H 为内积空间, E ⊂ H 为正交集.则对于 E 中任意有限 多个元 1 x n ,⋅⋅⋅, x 和 , , , α1 ⋅⋅⋅ α n ∈Φ 2 11 2 2 n n αα α xx x + +⋅⋅⋅+ ≤ 22 2 2 1 1 n n α α x +⋅⋅⋅+ x . (4-1-1) 从而若 E 不包含 0 元, E 是线性无关集. 证明 由正交性 2 1 1 n n α α x +⋅⋅⋅+ x ( 1 1 11 , ) nn nn = +⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅+ α αα α x xx x ( , 1 , ) n ii jj i j α α x x = = ∑ 2 2 2 1 2 1 n n = α x + ⋅⋅⋅ + α x . 当 x 0(i 1, ,n) i ≠ = " 时 , 若 α α n , , 1 " 不全为 0 , 则 1 1 n n α α x +⋅⋅⋅+ x ≠ 0, 即 1 1 α x n n +⋅⋅⋅+α x ≠ 0. 定理 2 设 H 是内积空间, E ⊂ H 是规范正交集, x ∈ H, 则 (1) 对于任一组 , , , e1 " en ∈ E 2 2 1 (x,e ) x i n i ∑ ≤ = . (4-1-2) (2) 数集 { } (x,e) : e ∈ E 中至多有可数多个不等于 0 . 证明 D 1 设 1 (, ) , n n ii i x xe e = = ∑ 则 0 ( , ) 2 n n n ≤ x − x = x − x x − x 2 2 ( , ) ( , ) n n n = x − x x − x x + x
=|2-∑(x,e) 故 ∑(x,e)2≤ 2°考虑集合 E=∈E(x,e)>f},j 由(412),E,中至多有有限多个元素,显然E=UE,故得 (2)。 推论1设H是内积空间,E={en}是H中的规范正交集,则 651)分.)s|R.(Bs不等式) (2)(x,en)→>0(n→>∞)。 实际上,令n→∞,由(4-1-2得到(4-1-3)由级数的收敛性质 (x,en)→0,故(x,en)→0 思考题 1.设H是内积空间,x,y1∈H(≥1),则 (1)x⊥spom{y:i≥l当且仅当x⊥y(21) (2)x⊥co{y:i≥l}当且仅当x⊥y(21) 2.设H是内积空间,{e,1≤≤川}是H中的规范正交集,x∈H,则 fo e 关于达到极小值当且仅当a1=(x,e),1≤i≤n 定义2设H为内积空间,E={en}是H中的规范正交集,x∈H
3 ∑= = − n i i x x e 1 2 2 ( , ) . 故 2 1 2 (x,e ) x n i ∑ i ≤ = . 2 D 考虑集合 1 { : ( , ) }, Ej e E xe j− =∈ > j = 1,2,". 由(4-1-2) ， E j 中至多有有限多个元素，显然 1 j j E E ∞ = =∪ ， 故得 （2）。 推论 1 设 H 是内积空间， { }n E = e 是 H 中的规范正交集，则 （ 1 ） 2 2 1 (, ) . n n x e x ∞ = ∑ ≤ （ Bessel 不等式） （4-1-3） （2） (x,en ) → 0 (n → ∞)。 实际上，令 n → ∞ ，由(4-1-2 得到（4-1-3）.由级数的收敛性质 ( , ) 0 2 x en → ，故 (x,en ) → 0 ,（2）成立. 思考题 1. 设 H 是内积空间, x, y ∈ H(i ≥ 1) i , 则 (1) x span y i ⊥ { i : 1 ≥ } 当且仅当 ( 1) i x yi ⊥ ≥ . (2) x co y i ⊥ { i : 1 ≥ } 当且仅当 ( 1) i x yi ⊥ ≥ . 2. 设 H 是内积空间 , { } ei ,1 ≤ i ≤ n 是 H 中的规范正交集 , x ∈ H , 则 1 (, , ) n f α " α = ∑= − n i i i x e 1 α 关于达到极小值当且仅当 α i = ( , )i x e , 1 ≤ i ≤ n . 定义 2 设 H 为内积空间, E = {en }是 H 中的规范正交集, x ∈ H
(1)对于每个en∈E,称(x,en)为x关于en的 Fourier系数 (2)称(形式)级数∑n(x,en)为x关于E的 Fourier级数 (3)若x=∑m(x,en)en按空间H的范数收敛,称此级数为x关 于E的F 展开式 定理3设H为内积空间,E={en}是H中的规范正交集 H 则以下诸条件等价 (1)x∈ (2) (x, e,)e (3)|=∑x.n)P.( Parseval等式) (4-1-5) 证明(1)→(2)不妨设un∈ span E,Un=∑a,e;,Un→x (x,e;)e1,则(xn,e)=(x,e),即e1⊥xn-x(i=1…k 从而∑(a1-(x,e)e⊥( xn)⊥(xn-x).于是 x. +x 对2=n-x+n-2≥x-x2 从而 x=0 所以 x=imxn=lm∑(x,e)=∑(xen)en (2)→(3)由(2),x=lim∑(x,e,)或者x→x,由内积关于
4 （1） 对于每个 en ∈ E ，称 ( , ) n x e 为 x 关于 n e 的 Fourier 系数. （2） 称（形式）级数 1 (, ) n n n x e e ∞ ∑ = 为 x 关于 E 的 Fourier 级数. （3） 若 1 (, ) n n n x xe e ∞ = = ∑ 按空间 H 的范数收敛，称此级数为 x 关 于 E 的 Fourier 展开式。 定 理 3 设 H 为内积空间 , E = {en } 是 H 中的规范正交集 , x ∈ H , 则以下诸条件等价： （1） x∈ span E . （2） 1 (, ) n n n x xe e ∞ = = ∑ . （4－1－4） （3） ∑ ∞ = = 1 2 2 | ( , ) | n n x x e . （Parseval 等式） （4－1－5） 证明 (1) ⇒ (2) 不妨设 un ∈span E ， ∑= = n k i n i i u e 1 α ， n u x → . 取 ∑= = n k i n i i x x e e 1 ( , ) ，则 ( , ) ( , ) n i i x e = x e , 即 e x x i ⊥ n − （ n i = 1,", k ）， 从而 1 ( ( , )) ( ) n k i ii n i α x ee x x = ∑ − ⊥ − ，即 ( )( ) nn n ux xx − ⊥ − . 于是 2 u x n − = 2 u x x x n − n + n − = 2 n n u − x + 2 x x n − ≥ 2 x x n − , 从而 x x n n − →∞ lim ＝ u x n n − →∞ lim ＝ 0 . 所以 n n x x →∞ = lim ＝ 1 lim ( , ) n k i i n i x e e →∞ = ∑ ＝ ∑ ∞ =1 ( , ) n n n x e e . (2) ⇒ (3) 由（2）， x = ∑= →∞ n i i i n x e e 1 lim ( , ) 或者 n x → x ，由内积关于
变元的连续性知道 =(x,x)=lm(xnx)=m∑(x,e,)=∑(xen) (3)→(1)令x=∑(x,e1)e,由(3) -∑(xe)=∑ i=n+1 故x= lim x,但xn∈ span E,所以x∈ span E。 定理3说明,要x关于正交集E的 Fourier展开式成立,必须并 且只要x属于由E张成的闭线性子空间或者x关于E的 Parseval等式 下面定理给出了得到规范正交集的方法。 定理4(Gram- Schmidt)设{xn}是内积空间H中一列线性无关元 素,则存在H中的规范正交集E={en:n≥1},使得Vn≥1 e;:l≤i≤n}=span{x1:1≤i≤n} 证明由x1≠0,令y=x1,e1 显然 span e= span y,)= span x) 由x2与x1(从而与e1)线性无关,令y2=x2-(x2,e1)e1,e2= py‖ 则 0.又(y2,e1)=(x2,e1)-(x2,e1)=0,从而(e2,e) (y2,e1)=0并且 spar 依照数学归纳法,不妨设e1,…,en已定义并且 span span i(x
5 变元的连续性知道 ( , ) lim( , ) 2 n n n x x x x x →∞ = = = ∑= →∞ n i i n x e 1 2 lim | ( , ) | =∑ ∞ =1 2 | ( , ) | n n x e . (3) ⇒ (1) 令 ∑= = n i n i i x x e e 1 ( , ) ，由（3）， 2 x x n − ＝ 2 x － ∑= n i i x e 1 2 | ( , ) | ＝ | ( , ) | 0 1 ∑ 2 → ∞ i=n+ i x e . 故 n n x x →∞ = lim ，但 xn ∈span E ，所以 x∈ span E 。 定理 3 说明， 要 x 关于正交集 E 的 Fourier 展开式成立，必须并 且只要 x 属于由 E 张成的闭线性子空间或者 x 关于 E 的 Parseval 等式 成立。 下面定理给出了得到规范正交集的方法。 定理 4 (Gram-Schmidt） 设{ n x }是内积空间 H 中一列线性无关元 素，则存在 H 中的规范正交集 { : 1} E en = n ≥ ，使得 ∀n ≥1, span{ei :1 ≤ i ≤ n} = span{x :1 i n} i ≤ ≤ . 证明 由 xi ≠ 0 ，令 1 1 11 1 , y y xe y = = . 显然 span { } e1 = span {y1} = span {x1}. 由 2 x 与 1 x（从而与 1 e ）线性无关，令 2 2 2 2 2 1 1 2 ( , ) , y y y = x − x e e e = ， 则 0 y2 ≠ . 又 ( , ) ( , ) ( , ) 0 y2 e1 = x2 e1 − x2 e1 = , 从 而 2 1 (,) e e = 2 1 2 1 ( ,) 0 y e y = 并且 span { } e1 , e2 = span {x1 , x2 , e1}= span {x1 , x2 }. 依照数学归纳法, 不妨设 1 1 , , n− e " e 已定义并且 span { } ei :1 ≤ i ≤ n −1 = span {xi :1 ≤ i ≤ n −1}