陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）3.6 高阶导数

陕西师聚大學乐数学与信息科学学院SHOANNORME故 f(z)在C 上有界,于是3M >0,使得|f(z)≤M,设d为从z到曲线C上各点的最短距离并取△z适当地小，满足△z一2-则 z-z≥ d ,Z. -Z0dz-Zo -△z≥z-zo-Az>2dDZoML1≤,47L元d3Z-Zo-Az

故 f (z)在C 上有界,于是 M  0,使得 f (z)  M, z0  D C , 设 d 为从 z0 到曲线 C 上各点的最短距离 d 并取 z 适当地小, , 2 1 满足 z  d , 0 则 z  z  d , 1 1 0 z z d   0 0 z  z  z  z  z  z , 2 d  , 1 2 0 z z z d     , 3 d ML I z   

陕西师大學陈数学与信息科学学院SHAANXENOIRNMLI <Az这里 L为C的长度S元d那末 I→0,如果 △z→0,f(z)f(zo +△z)- f(zo)f'(zo) = limdz.2元iJc(z- z)AzAz-→0f'(zo + △z) - f'(zo)再利用以上方法求极限linAzAz->02!f(z)可得 f"(zo)=dz2元iJc(z-Zo

, 3 d ML I z    这里 L为C 的长度. 如果 z  0, 那末 I  0, z f z z f z f z z         ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 d , ( ) ( ) 2 1 2 0     C z z z f z i 再利用以上方法求极限 z f z z f z z         ( ) ( ) lim 0 0 0 d . ( ) ( ) 2 2! ( ) 3 0 0      C z z z f z i 可得 f z

陕品师乾大學陈数学与信息科学学院SHAANXLNO至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推，利用数学归纳法可证f(z)n[证毕]2mile(z-2.)4 dz.高阶导数公式的作用：而在于通过求导不在于通过积分来求导来求积分

至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 d . ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 0 0 ( )      C n n z z z f z i n f z [证毕] 高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导 来求积分

陕西师聚大學陈数学与信息科学学院AT三、典型例题例1计算下列积分,其中C为正向圆周:z=r>1.e?COS元Z(2) fc (2 +1)1) dz;dz-1)COS元Z解 (1)函数在C内z=1处不解析(z-1)5但cos元z在C内处处解析f(z)n!r根据公式 f(m)(zo)dz2元i c(z- 20)4+1

三、典型例题 例1 解        C z C z z e z z z C z r d . ( 1) d ; (2) ( 1) cos (1) , : 1. 5 2 2 计算下列积分 其中 为正向圆周 1 , ( 1) cos (1)函数 5 在 内  处不解析   C z z z 但 cosz 在C内处处解析,      C n n z z z f z i n f z d ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 0 0 根据公式 ( )