3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维，设辅助函数.一般解题方法：(1)证明含一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用柯西中值定理(3)若结论中含两个或两个以上的中值,必须多次应用中值定理(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式有时也可考虑对导数用中值定理
利用 一般解题方法: 证明含一个中值的等式或根的存在, 若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用 若已知条件中含高阶导数, 若结论中含两个或两个以上的中值, 3.有关中值问题的解题方法 (1) 可用原函数法找辅助函数. (2) 柯西中值定理. 中值定理. (3) (4) 有时也可考虑 多考虑用泰勒公式, 逆向思维,设辅助函数. 多用罗尔定理, 必须多次应用 对导数用中值定理
4.导数应用(1)）研究函数的性态：增减，极值，凹凸,拐点，渐近线，曲率(2）解决最值问题·目标函数的建立·最值的判别问题(③)其他应用：求不定式极限；几何应用相关变化率；证明不等式；研究方程实根等
(1) 研究函数的性态: 增减, 极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率 (2) 解决最值问题 • 目标函数的建立 • 最值的判别问题 (3)其他应用: 求不定式极限;几何应用; 相关变化率; 证明不等式;研究方程实根等. 4.导数应用
二、典型例题f'(x)/≤M例1 f(x)在(a,b)内可导,且证明,f(x)在(a,b)内有界。证 取点xE(a,b),再取异于x的点xE(a,b),f(x)在以xo,x为端点的区间上用拉氏定理f(x)-f(x)= f()(x-x) (介于x,与x之间)f(x)=f(xo)+ f'(5)(x-xo)≤f(x)+f()x-xo定数≤f(xo)+M(b-a)=[K对任意xE(a,b),f(x)≤K，即证
二、典型例题 在 内可导,且 证明 在 内有界. 证 ( , ), 0 x a b 再取异于 0 x 的点 x (a,b), 在以 x , x 0 为端点的区间上用 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 f x − f x = f x − x ( ) 介于x0与x之间 ( ) ( ) 0 f x + M b − a = K 定数 对任意 x (a,b), f (x) K , 即证. 例1 取点 拉氏定理, ( ) ( ) ( )( ) 0 0 f x = f x + f x − x 0 0 f (x ) + f ( ) x − x
例2f(x)在[0,1]上连续,在 (0,1)内可导,且 f(1)=0证明至少存在一点 E(0,1),使2 f(5)f'()=&S间题转化为证 f()+2f()=0分析x=§ = 0xf (x)证 设辅助函数 F(x)=x2f(x)F(x)在[0,1]上用罗尔定理,三 E(0,1),使F()=25f()+f'()=02f(3)即有f'()=&S
在 内可导,且 证明至少存在一点 使 上连续,在 问题转化为证 设辅助函数 ( ) ( ) 2 F x = x f x F(x) 用罗尔定理, (0,1) , 使 即有 例2 证 在[0,1]上 分析 ( ) = 0 2 x f x = x [ ] f () + 2 f () = 0 ( ) 2 ( ) ( ) 0 2 F = f + f =
f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且例30<a<b,试证存在,nE(a,b),使a+bf'()=f'(n).2nf'()f'(n)f'()(b-a)f'(n)证欲证即要证b?-a?2na+b2nf(x)在[a,b]上用拉氏定理,故有(1)f(b)- f(a) = f'()(b-a),,E(a,b)又f(x)及x在[a,b]上用柯西定理,故有f'(n)f(b)- f(a) _f'(x)ne(a,b) (2)2 nb? -a?(x)x=na+b将(1)代入(2),化简得f()=f'(n), 5,ne(a,b).2n
在 内可导,且 试证存在 ( ). 2 ( ) f a b f + = 使 例3 上连续,在 欲证 , 2 ( ) ( ) f a b f = + f (x)在[ a , b ]上用 故有 f (b) − f (a) = f ( )(b − a), 即要证 . 2 ( ) ( ) f f = 证 (b − a) 2 2 b − a (a , b) 又 f ( x )及 2 x 在[ a , b ]上用 = − − 2 2 ( ) ( ) b a f b f a 将(1)代入(2),化简得 故有 , (a,b). 拉氏定理, 柯西定理, ( ), 2 ( ) f a b f + = , (a , b) 2 ( ) f = f (x) ( ) 2 x x = (1) (2)