SIx x≥0 例3设f(x) x<0 coSx+Cx≥0 g(x)={1 x+c x<0 (1)问:g(x)是f(x)的不定积分吗? (2)求f(x)过(0,1)点的积分曲线 「解(1)不是 2因为g(x)在点x=0处不连续
2021/2/20 11 + + = 0 2 1 cos 0 ( ) 2 x C x x C x g x − = 0 sin 0 ( ) x x x x 设 f x (2) ( ) (0, 1) . (1) ( ) ( ) 求 过 点的积分曲线 问 ： 是 的不定积分吗？ f x g x f x [例3] [解] 不是！ 因为g(x)在点x = 0处不连续 (1)
(2)首先要求f(x)的积分曲线族 c0Sx+C1x≥0 分段积分,得G(x)=1+C2x0 2 若G(x)是f(x)在R上的原函数 →G(x)在x=0连续 →limG(x)=limG(x)=G(0)→C2=1+C x->0 x→0 cosx+Cx≥0 G(x)={1 2 x2+1+ c x<0 2021/2/20 12
2021/2/20 12 (2) 首先要求f (x)的积分曲线族 + + = 0 2 1 cos 0 ( ) 2 2 1 x C x x C x G x 若G(x)是 f (x)在R上的原函数 G(x)在x = 0连续 lim ( ) lim ( ) (0) 0 0 G x G x G x x = = → + → − 2 1 C = 1+C + + + = 1 0 2 1 cos 0 ( ) 2 x C x x C x G x 分段积分，得
当x>0时,G(x)=-sinx 当x<0 时,G"(x)=x cosx-l 又G0)=lim 0 x→>0 →G(0)=0 x2+1-1 G_(0)=lim =0 x→)0 于是G(x)在(-a+)上可导且G(x)=f(x) cosx +C x≥0 →f(x)dx={1 x2+1+Cx<0 2021/2/20 2
2021/2/20 13 0 cos 1 (0) lim 0 = − = + → + x x G x 又 0 1 1 2 1 (0) lim 2 0 = + − = − → − x x G x G(0) = 0 当x 0时, G(x) = −sin x 于是G(x)在(− , + )上可导,且G(x) = f (x) + + + = 1 0 2 1 cos 0 ( ) 2 x C x x C x f x dx 当x 0时, G(x) = x
cosx+C y≥0 即y=G(x)=1 x2+1+Cx<0 是f(x)的积分曲线族 令x=0,G(0)=1,得C=0 cos x x≥0 y=F(x)={1 x2+1 x<0 是f(x)过(0,功)点的积分曲线
2021/2/20 14 + + + = = 1 0 2 1 cos 0 ( ) 2 x C x x C x 即 y G x 是f (x)的积分曲线族 令 x = 0,G(0) = 1,得 C = 0 + = = 1 0 2 1 cos 0 ( ) 2 x x x x y F x 是 f (x)过(0, 1)点的积分曲线