c∈R,(x3+c)=3x2→ (x3+c)也是3x2在R上的原函数 个函数若存在一个原函数, 则它必有无穷多个原函数。 关于原函数有两个理论问题: (a)原函数的存在问题 结论:若函数f(x)在区间I上连续 则f(x)在区间/上存在原函数 b)原函数的结构问题 2021/2/20 6
2021/2/20 6 关于原函数有两个理论问题: （a）原函数的存在问题 ( ) . ( ) , 则 在区间 上存在原函数 若函数 在区间 上连续 f x I 结论: f x I （b）原函数的结构问题 ( ) 3 . , ( ) 3 3 2 3 2 x c 也 是 x 在R上的原函数 c R x c x + + = 一个函数若存在一个原函数， 则它必有无穷多个原函数
定理若F(x)是f(x)在区间/上的一个 原函数,则F(x)+C是f(x)的全体 原函数,其中C为任意常数 证①证明F(x)+C是f(x)在I上的 个原函数 「F(x)+CI=F(x)=f(x)Vx∈I →F(x)+C是f(x)在I上的一个 原函数 2021/220
2021/2/20 7 [F(x) + C] = F(x) = f (x) x I , . , ( ) ( ) ( ) ( ) 原函数 其 中 为任意常数 原函数 则 是 的全体 若 是 在区间 上的一个 CF x C f x F x f x I + [定理1] [证] 一个原函数 （1）证明F ( x ) + C是f ( x ) 在 I 上 的 原函数 F ( x ) + C 是 f ( x ) 在 I 上的一个
证明f(x)在I上的任意一个原函数 都可以表示为(x)+C的形式 设G(x)是f(x)在/上的任何一个原函数 IG(x-F(xr=g(x)-F(x) f(x)-f(x)=0Vx∈I 由拉格朗日中值定理的论知 G(x)-F(x)=CVx∈I 即G(x)=F(x)+CVx∈I 2021/2/2 8
2021/2/20 8 设G(x)是 f (x)在I上的任何一个原函数 f x f x x I G x F x G x F x = − = − = − ( ) ( ) 0 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 由拉格朗日中值定理的推论知 G(x) − F(x) = C x I 即 G(x) = F(x) + C x I 都可以表示为 的形式 （）证明 在 上的任意一个原函数 F x C f x I ( ) + 2 ( )
(二)不定积分的定义 设f(x)在区间/上存在原函数F(x), 则其原函数的全体F(x)+C称为f(x) 在区间Ⅰ上的不定积分 记作 被积函数 积分号 积分常数 f(x)dx=F(x)+C常 积分变量 2021/2/20
2021/2/20 9 . ( ) ( ) ( ) ( ), 在区间 上的不定积分 则其原函数的全体 称 为 设 在区间 上存在原函数 I F x C f x f x I F x + f (x)dx = F(x)+C 积分变量 积 分 常 数 积 分 号 （二）不定积分的定义 记作: 被积函数
积分曲线与积分曲线族 F(x) 积分曲线 y=F(x)+C积分曲线族 20212/20
2021/2/20 10 y = F(x) + C 积分曲线族 x x y o 积分曲线 y = F(x) 积分曲线与积分曲线族