3.4向量和矩阵的范数 为了研究线性方程组近似解的误差估计 和迭代法的收敛性,我们需要对R(n维 向量空间)中的向量或Rx中矩阵的“大 小”引入一种度量,—一向量和矩阵的范 数
3.4 向量和矩阵的范数 ◼ 为了研究线性方程组近似解的误差估计 和迭代法的收敛性，我们需要对Rn (n维 向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大 小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数
向量和矩阵的范数 在一维数轴上,实轴上任意一点x到 原点的距离用|x表示。而任意两点X, 之间距离用X2|表示
向量和矩阵的范数 ◼ 在一维数轴上，实轴上任意一点x到 原点的距离用|x|表示。而任意两点x1， x2之间距离用| x1 -x2 |表示
向量和矩阵的范数 而在二维平面上,平面上任意一点X)到 原点的距离用x2+y2=OP表示。而平面上 任意两点R(×,%,(场)的距离用 PE=y(x-x2)+(1-y2) 表示。推广到m维空间,则称为向量范数
向量和矩阵的范数 ◼ 而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到 原点的距离用 表示。而平面上 任意两点P1 (x1 ,y1 ),P2 (x2 ,y2 )的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。 | | 2 2 x + y = OP 2 1 2 2 1 2 1 2 | P P |= (x − x ) + (y − y )
向量范数 定义3.4.1设任一向量X∈R",按某一确定的 法则对应于一非负实数‖x‖,且满足: 1)非负性:‖x≥0,当且仅当X=O时,‖Xl|=0 2)奇次性:‖X‖=k‖xk∈R, 3)三角不等式:对任意xy∈R",都有 x+y2|4‖x+‖12, 则称‖x‖为向量x的范数
向量范数 则称 为向量 的范数。 ， 三角不等式：对任意 都有 奇次性： 非负性： ，当且仅当 时， 法则对应于一非负实数 且满足 设任一向量 按某一确定的 x x R k k k R R x y x y x y x x x x x x x n n || || || || || || || || 3) , , 2) || || | ||| ||, ; 1) || || 0 0 || || 0; || ||, : 定义3.4.1 , + + = = =
常见的向量范数 设向量x=(x12x2…,xn) xC=∑|x x|2=(∑|x12)2=(x,x)2=(x X max了x2 1≤i<n
常见的向量范数 || || max{| |} || || ( | | ) ( , ) ( ) || || | | ( , ,..., ) 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 i i n T n i i n i i T n x x x x x x x x x x x x x x = = = = = = = = 设向量