422 Newton插值公式 由差商定义 f(x)-f(o) x X-X →f(x)=f(x)+(x-x0)f[x,x](1) f[x,x]-f[x02x1] X-xI +fIx,xo]=fLo, x]+(x-xifLx xo,x](2)
4.2.2 Newton 插值公式 由差商定义 0 0 0 ( ) ( ) [ , ] f x f x f x x x x − = − 0 0 0 = + − f x f x x x f x x ( ) ( ) ( ) [ , ] (1) 0 0 1 0 1 1 [ , ] [ , ] [ , , ] f x x f x x f x x x x x − = − 0 0 1 1 0 1 = + − f x x f x x x x f x x x [ , ] [ , ] ( ) [ , , ] (2)
(2)式代入(1)式得 f(x)=f(xo)+(x-xo)[xo,xI +(x-x)(x-x1)f[x2x02x1](3) 为了提高精度,增加节点x2’则 [x,x0,x一f[x0,x12x2] X.x. 0:1 X- 得f[x,x02x1]=/x2x1,x]+(x-x2)f[x,x0,x1,x2](4)
[ , , ] [ , , ] ( ) [ , , , ] (4) [ , , , ] [ , , ] [ , , ] ( )( ) [ , , ] (3) ( ) ( ) ( ) [ , ] (2) 1 0 1 0 1 2 2 0 1 2 0 1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 0 0 0 1 f x x x f x x x x x f x x x x f x x x x x x f x x x f x x x x x x x x f x x x f x f x x x f x x = + − = − − + − − = + − 得 为了提高精度，增加节点 ，则 式代入（）式得：
(4)式代入(3)式得: f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x0,x1]+(x-x)(x-x)f[x,x02x1] +(x-x0(x-x1)(x-x2)[x,x0,x1,x2] 般的,在节点x,x12x2…,xn上有
一般的，在节点 上有 式代入（ ）式得： n x x x x x x x x x x f x x x x f x f x x x f x x x x x x f x x x , , ,..., ( )( )( ) [ , , , ] ( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ] (4) 3 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0 0 1 0 1 0 1 + − − − = + − + − −
∫(x)=f(x0)+(x-x)f[x,x]+(x-x0(x-x1)f[x2x12x2] +…+(x-x0)x-x1).(x-xn1)[x0,x +(x-x0(x-x).(x-x21)(x-x)f[x,x0,x1,…xn] =N(+r,(x) 其中Nn(x)、Rn(x)分别为f(x)在节点{x1}上的 Newton 插值公式和余项
插值公式和余项。 其中 ( )、 ( )分别为 ( )在节点{ } 上的Newton ( ) ( ) ( )( )...( )( ) [ , , ,... ] ... ( )( )...( ) [ , ,... ] ( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ] 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 2 n n n i n n n n n n n N x R x f x x N x R x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x f x f x x x f x x x x x x f x x x = + + − − − − + + − − − = + − + − − − − −
可以验证: N,(xo)=f(ro) Nn(x1)=f(x0)+(x1-x0)f[x0,x1] f(x0)+(x1-x0) x X Nn(x2)=f(x0)+(x2-x){[x0,x]+(x2-x1)[x2x1,x2] Wo. nox f(x0)+(x2-x0){[x0,x]+(x2-x1) f(x)+(x2-x0)f[x2x0 f(x0)+(x2 f(x2)-f(x0) f(x2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] } [ , ] [ , ] ( ) ( ){ [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ){ [ , ] ( ) [ , , ]} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] ( ) ( ) 2 2 0 2 0 0 2 0 0 2 0 2 0 2 1 2 0 0 1 0 2 0 0 1 2 1 2 0 2 0 0 1 2 1 0 1 2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 f x x x f x f x f x x x f x x x f x x x x f x x f x x f x x x f x x x x N x f x x x f x x x x f x x x f x x x f x f x f x x x N x f x x x f x x N x f x n n n = − − = + − = + − − − = + − + − = + − + − = − − = + − = + − = 可以验证：