皮亚诺系统基本前提：自然数集合存在，在上面可以定义相等·公理1.1是自然数，公理2.每个自然数可以定义惟一的后邻公理3.任何后邻都不会是1，公理4.若两数的后邻相等，则两数相等，公理5.归纳法成立
皮亚诺系统 • 基本前提：自然数集合存在，在上面可 以定义相等 • 公理1. 1是自然数 • 公理2. 每个自然数可以定义惟一的后邻 • 公理3. 任何后邻都不会是1 • 公理4. 若两数的后邻相等，则两数相等 • 公理5. 归纳法成立
ZFC公理集合论系统原始概念：集合原始关系：属于公理：外延公理（相等）、空集公理、配对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理（归纳法）、公式Φ的替换公理、正则公理、选择公理
ZFC公理集合论系统 • 原始概念：集合 • 原始关系：属于 • 公理：外延公理（相等）、空集公理、 配对公理、并集公理、幂集公理、无穷 公理（归纳法）、公式F的替换公理、正 则公理、选择公理
现代数学方法：集合论+公理化，集合是定义任何数学对象的原始概念。数学上说，任何数学概念都是用集合定义的，简单地说，任何数学对象都是某种类型的集合。，数学系统都以公理化的形式和精神来陈述的探索的
现代数学方法：集合论+公理化 • 集合是定义任何数学对象的原始概念。 数学上说，任何数学概念都是用集合定 义的，简单地说，任何数学对象都是某 种类型的集合。 • 数学系统都以公理化的形式和精神来陈 述的探索的
数学严格性与实用的妥协，在现实的数学学习和从事数学研究的过程中，人们并非真的能够和没有意义抽象符号打交道，而是用人们能够赋予实际意义的符号处理问题。因此不少时候人们试图去给集合下“定义”，实际上是让初学者理解其实际含义。，另一方面数学中所发现的悖论在不时地提醒人们这种直观能够走多远
数学严格性与实用的妥协 • 在现实的数学学习和从事数学研究的过 程中，人们并非真的能够和没有意义抽 象符号打交道，而是用人们能够赋予实 际意义的符号处理问题。因此不少时候 人们试图去给集合下“定义”，实际上 是让初学者理解其实际含义。 • 另一方面数学中所发现的悖论在不时地 提醒人们这种直观能够走多远
2.集合及其运算·集合（直观描述）·集合相等和子集合，子集的表示方式和全集，常用数学符号和常用集合记号·集合的并·集合的交·集合的差运算和余(补)运算·集合运算的性质
2. 集合及其运算 • 集合(直观描述) • 集合相等和子集合 • 子集的表示方式和全集 • 常用数学符号和常用集合记号 • 集合的并 • 集合的交 • 集合的差运算和余(补)运算 • 集合运算的性质