1.5随机事件的独立性 般情况下,事件B的发生对事件A的发生是有 影响的.如果事件B发生与否并不影响A的发生,即 P(AB)=P(AB) 则称事件A相对B独立,此时A相对B也独立 如果事件A相对B独立,事件B相对A也独立,则 称它们是相互独立的 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 1.5 随机事件的独立性 一般情况下, 事件B的发生对事件A的发生是有 影响的. 如果事件B发生与否并不影响A的发生, 即 P(A B) = P(A B) 如果事件A相对B独立,事件B相对A也独立, 则 称它们是相互独立的. 则称事件A相对B独立, 此时A 相对 B 也独立
性质设A与B是两随机事件,那么 1°如果A相对B独立,则事件A相对B也独立,并且 P(AIB)=P(A), P(AB)=P(A)P(B) 2°如果A相对B独立且0<P(4)<1,则A与B相互独立; 3°(相互独立事件的乘法定理)如果A与B相互独立, 则A与B,A与B,A与B也相互独立并且有乘法公式 P(AB)=P(A)P(B), P(AB)=P(A)P(B P(AB)=P(A)P(B), P(AB=P(A)P(B) 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 性质 设A与B是两随机事件, 那么 1º 如果A相对B独立, 则事件 相对B也独立, 并且 P(A| B) = P(A), A P(AB) = P(A)P(B) 2º 如果A相对B独立且0<P(A)<1, 则A与B相互独立； 3º (相互独立事件的乘法定理) 如果A与B相互独立, 则A与B, A与B, A与B也相互独立,并且有乘法公式 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) P AB P A P B P A B P A P B P A B P A P B P AB P A P B = = = =
证1°如果A相对B独立,则 P(A|B)=1-P(|B)=1-P(A|B)=P(A|B) 即A相对B独立,再由全概率公式知 P(A=P(B)P(A B)+P(B)(A B) P(B)P(A B)+P(B)P(A B)=P(A B) P(AB)=P(BP(A B)=P(B)P(A=P(A)P(B) 2°由条件概率公式及1知 P(B A) P(BA) P(B)-P(AB) P(B)-P(A)P(B) P(A) P(A P(A)P(B) P()P(B)P(AB)2P(BIA) P(A) P(A P(A) 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 证 1º 如果A相对B独立, 则 2º 由条件概率公式及1º知 P(A | B) = 1− P(A| B) = 1− P(A| B) = P(A | B) 即A相对B独立, 再由全概率公式, 知 P(A) = P(B)P(A| B)+ P(B)P(A| B) = P(B)P(A| B)+ P(B)P(A| B) = P(A| B) P(AB) = P(B)P(A| B) = P(B)P(A) = P(A)P(B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) P A P B P A P B P A P B P AB P A P BA P B A − = − = = ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P B A P A P AB P A P A P B P A P A P B = = = =
即B相对A独立,从而A与B相互独立 3°如果A与B相互独立,则 由定义知B相对A独立 →A与B相互独立 而由1知A相对B独立 反复用上述结果可知4与B,A与B也相互独立 再由1的最后一个等式可知 P(AB)=P(AP(B), P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(AP(B), P(AB)=P(A)P(B) 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 3º 如果A与B相互独立, 则 而 由 知 相 对 独 立 由定义知 相 对 独 立 A B B A 0 1 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) P AB P A P B P A B P A P B P A B P A P B P AB P A P B = = = = 反复用上述结果可知：A与B, A与B也相互独立 再由1º的最后一个等式可知 即B相对A独立, 从而A与B相互独立 A与B相互独立
性质2表明:在0<P(4)<1,0<P(B)<1的条件下 A相对B独立兮B相对A独立分A与B相互独立 性质1°与性质2的证明过程也已经证明了 定理1在0<P(4)<1,0<P(B)1的条件下 A与B相互独立台P(AB)=P(A)P(B) 正因为此定理的成立,为了 叙述简单,有些教科书也把 此公式作为相互独立的定义 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 定理1 在0<P(A)<1, 0<P(B)<1的条件下 A相 对B独 立 B相 对A独 立 A与B相互独立 性质1º与性质2º的证明过程也已经证明了 性质2º表明： 在0<P(A)<1, 0<P(B)<1的条件下 A与B相互独立 P(AB) = P(A)P(B) 正因为此定理的成立，为了 叙述简单，有些教科书也把 此公式作为相互独立的定义