53协方差与相关系数 、协方差的定义与性质 、随机变量的线性逼近与相关系数 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 5.3 协方差与相关系数 一、协方差的定义与性质 二、随机变量的线性逼近与相关系数
一、协方差的定义和性质 在52节方差性质4°的证明中 协方差 D(X±Y)=DX+DY±2E[(X-EXY-E)] D(X)+D()<x,独立口→冷0 即,如果随机变量X和Y是相互独立的,则必有 EI(-EXO-EDIO 这意味着当E(XEX(YEY均0时,X与Y不相互 独立或存在着一定的关系 为此,我们引入下面的定义 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 一、协方差的定义和性质 在5.2节方差性质4°的证明中 为此, 我们引入下面的定义. D X Y DX DY E ( ) 2 = + ( )( ) X EX Y EY − − 即，如果随机变量X和Y是相互独立的, 则必有 E[(X-EX)(Y-EY)]=0 这意味着当E[(X-EX)(Y-EY)]≠0时, X与Y 不相互 独立或存在着一定的关系. || 0 协方差 = D(X) + D(Y ) X,Y独立
定义1对二维(X,,若E[(X-EX)(Y-EY)]存在, 则称E[(X-E(Y-E)为随机变量X与Y的协方差记 为Cov(X,),即 CoV(X, Y)=EL(X-EX)(Y-EY)] 将上式展开,易得公式 CoV(X,Y=E(XY-(EX(Er 特别,当X与Y相互独立时,有 Cov(X,r=0 由协方差的定义亦容易推得协方差的如下性质 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 定义1 Cov( , ) ( ) ( )( ) X Y E XY EX EY = − ( , ), ( )( ) , ( )( ) , Cov( , ), X Y E X EX Y EY E X EX Y EY X Y X Y − − − − 协 对二维 若 存在 则称 为随机变量 与 的 记 为 方差 即 特别, 当X与Y 相互独立时，有 Cov( , ) ( )( ) X Y E X EX Y EY = − − 将上式展开, 易得公式 Cov( , ) 0 X Y = 由协方差的定义亦容易推得协方差的如下性质
协方差的性质CoVX,)=E(X-EX(Y-E 设a,b是常数,则当下所遇期望和协方差存在时,有 1°C0v(a,X)=0; 2 CoV (X, X)=DX 3 Cov(X, Y=Cov(Y, X) 4 Cov(ax, br=abCov(x, Y); 5 Cov(X+Y, Z=Cov(X, 2)+ Cov (r, 2) 例1设X为一随机变量,其方差为DX,Y=+bX, 其中a与b均为常数,求Cov(X,F A Cov(X, r)=Cov(a+bX, X) Cov(a, X)+bCov(X, X)=bDX 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 设a b, , , 是常数 则当下所遇期望和协方差存在时 有 协方差的性质 o 1 Cov( , ) 0; a X = o 2 Cov( , ) ; X X DX = o 3 Cov( , ) Cov( , ); X Y Y X = o 4 Cov( , ) Cov( , ); aX bY ab X Y = o 5 Cov( , ) Cov( , ) Cov( , ). X Y Z X Z Y Z + = + 例1 设X为一随机变量, 其方差为DX, Y=a+bX, 其中a与b均为常数, 求Cov( X ,Y ). 解 Cov( , ) Cov( , ) X Y a bX X = + = + Cov( , ) Cov( , ) a X b X X = bDX Cov( , ) ( )( ) X Y E X EX Y EY = − −
二、随机变量的线性逼近与相关系数 在解决实际问题时,常常需要用随机变量X的 线性函数a+bX逼近随机变量Y为了使这种逼近的 近似程度好,我们自然希望误差ya+b》)越小越 好或者更方便地用误差 r=ElY-(a+bX) 来衡量这种逼近的好坏程度显然,r的值越小,则表 示逼近程度越好故应取a,b使误差r的值最小 下面讨论a,b的取值 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 二、随机变量的线性逼近与相关系数 在解决实际问题时,常常需要用随机变量X的 线性函数a+bX逼近随机变量Y.为了使这种逼近的 近似程度好,我们自然希望误差|Y-(a+bX)|越小越 好.或者更方便地,用误差 来衡量这种逼近的好坏程度.显然,r的值越小,则表 示逼近程度越好.故应取a,b使误差r的值最小. 2 r = E[Y − (a + bX)] 下面讨论a,b的取值