《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第5章 常微分方程

第413页dydy+x2解微分方程2例5.2.4xydxdx()2dyx解 方程变形得xy-x?dxy-1xdydu今u== y=xuUu+xdxdxx22duduu代入方程得u+xUxu-1dxdxu-1dx= u- In ul+C = ln|xdu =xuIn|=+C= In|xu=u+CUx

第 413 页 例5.2.4 解微分方程 解 方程变形得 2 2 2 ( ) d d 1 y y y x x xy x y x     y u x    y xu d d d d y u u x x x   代入方程得 2 d d 1 u u u x x u    d d 1 u u x x u    1 d 1 d x u u x            u uC x ln ln   ln xu uC ln y y C x    令 2 2 d d d d y y y x xy x x  

第414页例5.2.5一旋转曲面形状的凹镜，要求从旋转轴上一点0发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行，这个旋转曲面由满足下述微分方程的平面曲线绕轴旋转而成，求旋转曲面的方程，-=/x2+y2解把x看作未知函数，把V看作自变量，方程可化为dxxx+1,(y>0)...... (*)dyyVdxdvx令V=二二Uv+yx=yVdydyydvD22+1代入(*)并化简得Vdy

第 414 页 例5.2.5 一旋转曲面形状的凹镜,要求从旋转轴上一点 O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行,这 个旋转曲面由满足下述微分方程的平面曲线绕x轴旋转 而成,求旋转曲面的方程. 解 把 x 看作未知函数,把 y 看作自变量,方程可化为 2 d 1 ,( 0) (*) d xx x y yy y           x v x yv y   d d d d x v v y y y   代入(*)并化简得 d 2 1 d v y v y   令 y 2 2 x xy y    

第415页dvdy分离变量得Vv?+1J两边积分得ln(v+Vv2+1)1)= In yl+InC→++1=±C →v-+1:C2vyVX=1 将 V=二 代入得 y2=C(2x+C)QCy旋转曲面由曲线 y2=C(2x+C)绕x旋转一周所得故所求凹镜的曲面方程为 y2 +z2=C(2x+C)(+/y?+2*,x)=(注：x,y)=0绕x轴的旋转面方程为一

第 415 页 分离变量得 两边积分得   2 1 ln 1 ln ln vv y C    2 1 1 y v v Cy C      x v y  旋转曲面由曲线 y2 = C(2 x + C) 绕 x 旋转一周所得 故所求凹镜的曲面方程为 y2 + z2 = C(2 x + C) 将 代入得 y2 = C(2 x + C)   2 2 f y zx    , 0 2 2 2 1 y vy C C   注: f(x,y ) = 0 绕x轴的旋转面方程为 2 d d 1 v y v y   2 2 1 y v v C        

第416页三、一阶线性微分方程未知函数及各阶导数最高为一次的方程称为线性方程一阶线性微分方程的一般形式：dy+ P(x)y= Q(x) ...(1)dxQ(x)≠0时称为非齐次方程,Q(x)=0时称为齐次方程 . .2).dx对(2),分离变量并积分得 ln|=-[P(x)dx+C齐次线性微分方程通解为 J=Ce-[r(wd,(C=±e℃)对非齐次线性方程(1),通常采用“常数变易法

第 416 页 三、一阶线性微分方程 d ( ) ( ) (1) d y Pxy Qx x    Q (x ) ≠ 0时称为非齐次方程,Q (x ) ≡ 0时称为齐次方程 d ( ) 0 (2) d y Pxy x    对(2),分离变量并积分得 1 ln ( )d y   Px x C  1 ( )d e ,( e ) Px x C y C C      一阶线性微分方程的一般形式: 对非齐次线性方程(1),通常采用 “常数变易法 ” 未知函数及各阶导数最高为一次的方程称为线性方程. 齐次线性微分方程通解为

第417页设方程(1)的解为 y=u(x)e-[P(v)dr,u(x)为待定函数dy- (x)P(x)e- ()dr= u(x)e-[P(n)dr则dx[P(x)d)代入(1)得 u(x)e-[P()dr=Q(x) =u(x)=Q(x)e= u(x)=J0(x)e (n)dr其中C为任意常数dx +C故(1)的通解 =e-[r(n)arJo(x)e/ p(r)drx)dx dx +C...(3)通解结构：非齐次方程一个特解+对应齐次方程通解" dx +C.e- P(x)dr= ra o(x) Pcoar

第 417 页 设方程(1)的解为 , u (x )为待定函数. d ( )d ( )d ( )e ( ) ( )e d y P x x Px x u x uxPx x        代入(1) 得 ( )d ( )e ( ) Px x u x Qx     ( )d ( ) ( )e P x x u x Qx     ( )d ( ) ( )e d Px x ux Qx x C     故(1)的通解 则 ( )d ( )e P x x y ux    ( )d ( )d e ( )e d (3) Px x Px x y Qx x C             ( )d ( )d ( )d e ( )e d e Px x Px x Px x y Qx x C         其中 C为任意常数 通解结构: 非齐次方程一个特解 +对应齐次方程通解