《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第5章 常微分方程

第408页例5.1.4（2015年考研真题）已知高温物体在低温介质中任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比.现将一初始温度为120℃的物体放在20℃恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间？dT=-k(T-20)其中k为待定常数解建立微分方程：dtdT求通解：=-kdt = T=C-e-kt +20T-20求特解：由T(0)=120 得 C=100,T=100e-kt +20求k:由T(30)=30得 k=→ T=100e-+20求冷却至21℃所需的时间:令T=100e-%+20=21得t=60，故从30℃继续降至21℃还需30min

第 408 页 例5.1.4(2015年考研真题) 已知高温物体在低温介质中, 任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介 质的温差成正比.现将一初始温度为120 ℃的物体放在 20 ℃恒温介质中冷却,30 min后该物体温度降至30 ℃,若 要将该物体的温度继续降至21 ℃,还需冷却多长时间 ？ 解 建立微分方程:   d 20 d T k T t   其中 k为待定常数 求k : 由 T(30) =30 得 求冷却至21 ℃所需的时间:令 求通解: 求特解: 由 T(0) =120 得 C =100, d d e 20 20 T k t kt T C T        100e 20 k t T    ln10 ln10 30 30 100e 20 t k T     ln10 30 100e 20 21 t T     得 t = 60, 故从30 ℃继续降至21 ℃还需30 min

第409页85.2几种常见的一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为：F(x,,)=0dy主要讨论形式为'=:f(x,y)的微分方程dxdy= f(x)g(y) 求解、可分离变量微分方程dxdy f(x)dx当g(y)≠0 时微分方程变形为g(y)方程两边同时进行不定积分得dyG(y)=( f(x)dx+C = F(x)+Cg(y)

第 409 页 §5.2 几种常见的一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为: Fxyy (, , ) 0   主要讨论形式为 的微分方程. d (, ) d y y f x y x    一、可分离变量微分方程 求解 d ()() d y f xgy x  d ( )d ( ) y f x x g y  d ( )d ( ) y f xxC g y     当 g (y) ≠0 时微分方程变形为 方程两边同时进行不定积分得 G( ) y   Fx C ( ) 

第410页dyXx例5.2.1的通解求微分方程dxy解微分方程变形得 ydy=xdx11C两边不定积分得222=→ 2=x2+Cy'=e2x-,y(O)=0 特解例5.2.2求初值问题的+e' dy=e?* dx解微分方程变形得1e2×+Cey二两边不定积分得e2e2*+1y= ln二由 y(0) = 0 得 C = 22

第 410 页 例5.2.1 求微分方程 的通解 解 微分方程变形得 y dy = x dx 两边不定积分得 1 11 2 2 2 22 y xC   2 2   y x C 例5.2.2 求初值问题的 特解 2 e , (0) 0 x y y y     解 微分方程变形得 2 ed e d y x y x  两边不定积分得 1 2 e e 2 y x   C 由 y(0) = 0 得 C = ½ 2 e 1 ln 2 x y          d d y x x y 

第411页dy=3x2y的通解。例5.2.33求微分方程dxdy = 3x2 dx解J≠0时分离变量得y两边同时不定积分得ln=x2+C通解 y=±e+Ci α Ce,(C=±e℃)通解中包含了分离变量时丢失的解y=0说明：①在求解过程中微分方程的变形有可能增加或减少方程的解；②通解不一定是方程的全部解！例如（y-x)y'=O通解y=C未含解y=x

第 411 页 例5.2.3 求微分方程 的通解 . d 2 3 d y x y x  x x y y 3 d d 2  两边同时不定积分得 3 1 ln y   x C   3 3 1 1 e e, e xC C x y CC  通解    通解中包含了分离变量时丢失的解 y = 0 . 解 y ≠ 0时分离变量得 说明 : ① 在求解过程中微分方程的变形有可能增加或 减少方程的解 ; 例如 ( )0 y xy    ② 通解不一定是方程的全部解 ! 通解 y = C 未含解 y = x

第412页dyY求解二、齐次微分方程@dxxdyduyu=解引入新变量=y=xuu+xdxdxxdudug(u)代入方程得u+xp(ux1dxdxdudx分离变量得p(u)-uxdudx解得 G(u)=lnx+C两边积分得p(u)-ux2= In|x| + C从而得方程通解Gx

第 412 页 二、齐次微分方程 求解 解 引入新变量 y u x    y xu d d d d y u u x x x   代入方程得 d ( ) d u ux u x    d ( ) d u x u u x   分离变量得 d d ( ) u x  uu x   两边积分得 d d ( )u x  uu x     Gu x C ( ) ln   ln y G xC x         d d y y x x         解得 从而得方程通解