《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第5章 常微分方程

第418页若y;和y2是一阶线性微分方程 y'+P(x)y=Q(x)的特解,则(1) ay,+by2,(a+b=1)也是y'+P(x)y=Q(x) 的特解：(2) 1-y2 是 +P(x)=0 的特解;例5.2.6(2016考研）设J1,2=(1+x2)V1+x2是微分方程y+p(x)y=q(x)的两个解，求q(x)解不妨记此两个解分别为y和y2,则-=2/1+x2 是 '+p(x)=0 的解xp(x)=-U1+ x2=(1+2) 是'+p(x)y=q(x) 的解2= q(x)=3x(1+x2)

第 418 页 若y 1 和y 2是一阶线性微分方程 的特解, 则(1) ay 1 +by2 , ( a + b =1)也是 的特解 y Pxy Qx   () ()  ; y Pxy Qx   () () (2) y 1 -y2 是 的特解 y Pxy   () 0  ; 例5.2.6 (2016考研 ) 设 22 2 1,2 yx x  (1 ) 1    是微分方程 的两个解 y pxy qx   () ()  , 求 q (x ) 解 不妨记此两个解分别为 y 1 和y 2,则 2 2 1 yy x    2 1 是 的解 y pxy   () 0  2 ( ) 1 x p x x    2 1 2 2 (1 ) 2 y y x    是 的解 y pxy qx   () ()  2  qx x x ( ) 3 (1 )  

第419页5-2ydy求方程例5.2.7的通解(x +1)2dxx+1解法1公式法P(x)dxP(x)dxdx +CO(x) ey=eLd((x+1)2ex+1xtdx +CA52 In(x+1)[(x+1)2e-2m(x+)dx +CC[+1)dx+C=(++)(+1)+c(x + 1)2

第 419 页 例5.2.7 求方程 的通解. 解法 1 公式法 ( )d ( )d e ( )e d Px x Px x y Qx x C            2 2 5 d d 1 1 2 e ( 1) e d x x x x x xC                5 2ln( 1) 2ln( 1) 2 e ( 1) e d x x x x C            1 2 2 ( 1) ( 1) d x x xC           5 2 d 2 ( 1) d 1 y y x x x         3 2 2 2 1 1 3 x x C         

第420页2ydy0解法2常数变易法：对应齐次方程dxx+1dy _ 2dx分离变量得x+1y积分得 Iny=2nx+1+lnC= y=C(x+1)?,(C=±C)令 y= u(x)(x+1)2 为非齐次方程的通解1代入非齐次方程得 u'=(x+1)232积分得 u=(x+1)2 +C3非齐次方程的通解为 y=(x+1)[(x+1)+C

第 420 页 解法 2 常数变易法: 对应齐次方程 d 2d 1 y x y x   1 积分得 ln 2ln 1 ln yx C   2 1     y Cx C C ( 1) , ( ) 令 y = u (x)(x+1)2 为非齐次方程的通解 代入非齐次方程得 2 1 u  ( x  1 ) 积分得 u  x  2  C 3 ( 1 ) 3 2 非齐次方程的通解为     3 2 2 2 1 1 3 yx x C          分离变量得 d 2 0 d 1 y y x x   

第421页y'+2xy =2xe-r例5.2.8解方程解法1公式法：P(x) =2x , Q(x)=2xe-22xdxxdx+CC2xe-x .e* dx +CEe2xdx +C1=e-* (x? +C)

第 421 页 解法 1 公式法: 2 () 2 , () 2e x Px x Qx x    2d 2d 2 e 2e e d xx xx x y x xC                2 22 e 2e e d x xx x x C         2 e 2d x xx C       2 2 e x x C    2 2 2e x y xy x  例5.2.8 解方程   

第422页解法2常数变易法：y'+2xy=0对应齐次方程为dy = -2xdxy=y=Ce-xlny=-x2 +lnCU令 y=C(x)e-，代入原方程整理得C(x) = 2x= C(x)= x2 +C故原微分方程的通解为 =(x2+C)e-x

第 422 页 令 , 代入原方程整理得 对应齐次方程为 y xy   2 0  d 2 d y x x y   2    ln ln yx C 2 e x y C    2 ( )e x y Cx   2   Cx x C ( ) 故原微分方程的通解为 2 2 ( )e x yxC    Cx x () 2  解法2 常数变易法: