其中 a(r(x)<a(g(x)或者r(x)=0. 于是F(x) =(b-laxi-m +q(x)g(x)+r(x).即有 q(x)=b-lax"-m+qi(x), r(x)=ri(x)使f(x)= q(x)g(x)+ r(x),成立.由归纳法原理，对 f(x),g(x)0， q(x),r(x)的存在性得证。区区下81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 其中 ( ( )) ( ) 1 r x < g x( ) 或者 1 r x( ) 0. = 于是 ( ) ( ( )) ( ) ( ) 1 1 1 . n m f x b ax q x g x r x − − = + + 即有 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) , n m q x b ax q x r x r x − − = + = 使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 成立． 的存在性得证． 由归纳法原理，对 f x g x ( ), ( ) 0, q x r x ( ), ( )
再证唯一性。若同时有 (x)=q(x)g(x)+r(x),其中 a(r(x)<a(g(x)或r(x)=0.和 J(x)=q(x)g(x)+r'(x),其中 a(r(x)<a(g(x)或r(x)=0q(x)g(x)+r(x)=q(x)g(x)+r'(x)则‘即(q(x)-q(x)g(x)=r(x)-r(x).F81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 再证唯一性． 若同时有 f x q x g x r x ( ) = + ( ) ( ) ( ), 其中 (r x g x r x ( )) ( ( ))或 ( )＝0. 其中 (r x g x r x ( )) ( ( ))或 ( )＝0. 和 f x q x g x r x ( ) = + ( ) ( ) ( ), 则 q x g x r x q x g x r x ( ) ( ) + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 即 (q x q x g x r x r x ( )－ ( )) ( )＝ ( )－ ( )
若q(α)q(x)，由g(x)±0， 有r'(x)一r(x)±0: a(q(x)-q(x)+o(g(x)=a(r(x)-r(x)≤ max(a(r),a(r))<a(g(x)但 a(q(x)-q(x)+a(g(x)≥a(g(x),，矛盾所以 q(x)=q(x)， 从而 r(x)=r(x).唯一性得证。区区下81.3整除的概念
§1.3 整除的概念 若q x q x g x r x r x ( ) ( )，由 ( ) 0, 0 有 ( )－ ( ) (q x q x g x r x r x ( )－ ( ))＋ ( ( ))＝ ( ( )－ ( )) max , ( (r r ) ( )) 但 (q x q x g x g x ( )－ ( ))＋ ( ( )) ( ( )), 矛盾． ( g x( )) 所以 q x q x ( ) = ( ), 从而 r x r x ( )= ( ). 唯一性得证．