利用对角矩阵计算矩阵多项式 若A=PBP,则 k个 A-PBP-PBP-1.PBP-PBPD PBP A的多项式 (A)=aoA"+aA"++an-14+anE =aoPB"p'+a1PB-P-+. +an-PBP+an PE P- P(ao B"+aiB"++anB+an E)P =Pp(B)P-1
利用对角矩阵计算矩阵多项式 , 1 A PB P − 若 = a PB P a PE P a P B P a P B P n n n n 1 1 1 1 1 1 1 0 − − − − − − + + = + + A = k A的多项式 A a A a A an A anE n n = + + + − + − 1 1 0 1 ( ) ( ) . 1 P B P− = . 1 P B Pk − = 则 P a B a B an B anE P n n 1 1 1 0 1 ( ) − − − = + ++ + PB P − 1 PBP−1 PBP−1 PBP−1 k个
特别地，若可逆矩阵P使P1AP=人为对角矩阵， 则 A=PA*P-,(A)=Po(A)P. 对于对角矩阵私，有 2 k= 始 利用上 述结论可以 p(2) 很方便地计 Q(A)- p(2) 算矩阵A的 多项式P(A) p(21) 回
, , 特别地 若可逆矩阵P使P −1 AP = 为对角矩阵 , 1 A P P k k − 则 = ( ) ( ) . 1 A P P − = 对于对角矩阵,有 , 2 1 = k n k k k , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 = 利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 . (A)
定理 设f(2)是矩阵A的特征多项式则f(A)=O, 证明只证明A与对角矩阵相似的情形 若A与对角矩阵相似，则有可逆矩阵P,使 P AP=A=diag(,), 其中2；为A的特征值f(2)=0.由A=PAP,有 f(2) f(A)=Pf(A)P=P =P0P-1=O
定理 设f ()是矩阵A的特征多项式,则f (A) = O. 证明 只证明A与对角矩阵相似的情形. 若A与对角矩阵相似,则有可逆矩阵P,使 ( , , ), 1 1 P AP = = diag n − , ( ) = 0. i i 其中 为A的特征值 f 由A = P P −1 ,有 f (A) . 1 = PO P = O − Pf P 1 ( ) − = P f f P n 1 1 ( ) ( ) − =
三、利用相似变换将方阵对角化 对n阶方阵A,若可找到可逆矩阵P,使 P-1AP=∧为对角阵，这就称为把方阵A对角化. 定理2n阶矩阵A与对角矩阵相以即A能对角化 王王王王王王王王王王 的充分必要条件是4有个线性无关的特征向量 证明 假设存在可逆阵靶，使PAP=A为对角阵 把P用其列向量表示为P=(p1,P2,Pn):
, . , , 1 为对角阵 这就称为把方阵 对角化 对 阶方阵 若可找到可逆矩阵 使 P AP A n A P = − 证明 , , 假设存在可逆阵P 使P −1AP = 为对角阵 ( , , , ) . 把 P 用其列向量表示为P = p1 p2 pn 三、利用相似变换将方阵对角化 . 2 ( ) 的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量 定 理 阶矩阵 与对角矩阵相似即 能对角化 A n n A A